Minimaler Abstand

Erste Frage Aufrufe: 68     Aktiv: 02.01.2023 um 19:52
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Hallo, wie kann man den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P(2/2) und der Funktion f(x)= 1/x berechnen, indem man die Nullstelle mit dem Näherungsverfahren nach Newton bestimmt.
Als Anfangsgleichung hab ich d(x) = (8-(4/x) + (1/x^2) + x^2 -4x)^0,5
Danach würde ich das ganze ableiten, allerdings weiß ich dann nicht weiter.
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Student, Punkte: 10

 
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1 Antwort
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Vorgehen ist soweit richtig. Eine Gleichung ist hier (erstmal) nicht gefragt, sondern eine Funktion, die zu minimieren ist. Diese ist Dein $d$.
Zum Minimieren nimmt man gerne $d(x)^2$, weil das dieselbe Minimalstelle liefert und keine Wurzel mehr hat. Das nur nebenbei.
Wie's weitergeht, und angenommen Du kennst die notwendige Bedingung für ein Extremum, sollte Dir klar werden, wenn Du das Newton-Verfahren nachgeschlagen hast. Ist danach noch ein Problem?
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Hallo erstmal, vielen Dank für die Antwort. Die Funktion konnte ich ableiten, allerdings weiß ich nicht, ob ich diese Ableitung gleich Null setzen soll und wie ich diese nach x auflöse. Wie das Newtonverfahren geht, weiß ich, mir erschließt sich aber nicht, ab welchen Schritt ich dieses einsetzten soll. Habe schon Vieles probiert und es ist leider nicht Sinnvolles rausgekommen.   ─   anonymedcc3 02.01.2023 um 16:19
Wie bestimmt man denn Extrema von Funktionen? Der erste Schritt geht genau wie immer. Und wenn man es durch Umstellen nach x auflösen könnte, bräuchte man kein Newton-Verfahren. Schau Dir nochmal an, wozu das Newton-Verfahren dient (wie es geht, reicht nicht).   ─   mikn 02.01.2023 um 16:27
Also ich müsste dann noch die zweite Ableitung bilden und dann damit die Nullstellen nach Newton bestimmen. Das wäre jetzt für mich am sinnvollsten.   ─   anonymedcc3 02.01.2023 um 16:40
Wozu die zweite Ableitung? Und dann die Nullstellen der zweiten Ableitung? Mach Dir die Schritte bei der Extremwertbestimmung nochmal klar, da ist hier nichts anders als sonst.   ─   mikn 02.01.2023 um 17:06
Die zweite Ableitung braucht man doch um die Nullstellen der ersten Ableitung nach Newton zu bestimmen. Extrempunkte erhält man, wenn man die erste Ableitung gleich null setzt
   ─   anonymedcc3 02.01.2023 um 17:29
Ok, ja, für das Newton-Verfahren braucht man hier die zweite Ableitung von $d$ (wie gesagt, nimm lieber $d^2$). Damit bestimmt man dann die Nullstellen der ersten Ableitung von $d$ näherungsweise mit dem NV. Es ist verwirrend, wenn man die Sprechweisen der Aufgaben mit der vom NV mischt. Am besten nennt man seine Nullstellengleichung $f(x)=0$, dann muss man nicht umdenken beim NV.   ─   mikn 02.01.2023 um 17:37
Vielen Dank für die rigorosen und zeitgleich sehr hilfreichen Denkanstöße. Ich hab jetzt mal die Ableitung von d^2 gebildet, das hat allerdings mit Newton nicht geklappt, weil ich ständig Null rausbekommen habe. Ich hab dann einfach d abgeleitet mit der Produktregel und dementsprechend war die zweite Ableitung sehr lang. Nichtsdestotrotz habe ich dann mit Newton ein einigermaßen gutes Ergebnis erzielt, und zwar ist x ungefähr 1,3. Ich weiß nicht, warum es mit d^2 nicht geklappt hat, vielleicht muss man da was Bestimmtes beachten, das würde eine Menge an Rechenarbeit sparen.   ─   anonymedcc3 02.01.2023 um 18:11
"...ständig null rausbekommen...": Bitte genauer ausdrücken, damit wir nicht wieder aneinander vorbeireden: Wobei null rausbekommen?
Ich hab mal selbst gerechnet und (vorbehaltlich Rechenfehler) komme ich darauf, dass das Minimum exakt bei x=1 liegt (ohne NV). Es empfiehlt sich auch bei solchen Gleichungen, mit den Nennern durchzumultiplizieren, dann erhält man nämlich ein Polynom (dessen Nullstelle(n) gesucht sind) und mit Polynomen geht alles einfacher.
Wenn man $d^2$ plottet, sieht man auch, dass es numerisch schwierig zu lösen ist. Weil nämlich die 2. Abl. von $d^2$ auch gleich null ist, und für doppelte Nullstellen konv. das NV nicht so schnell. Bei doppelten Nullstellen rechnet man besser $x_{n+1}=x_n-2f(x_n)/f'(x_n)$ (Variante des NV).   ─   mikn 02.01.2023 um 19:46

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