Zwei Ereignisse \(A,B\) sind unabhängig, wenn das Eintreffen des einen Ereignisses nicht die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, mit der das andere Ereigniss eintrifft. Formal schreibt man auch: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreffen entspricht dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten, also:

\(P(A \cap B) = P(A) * P(B)\).

Das bedeutet aber auch, dass \(P_A(B) = P(B)\). Denn das eintreffen von \(A\) hat auf die Wahrscheinlichkeit von \(B\) keinen Einfluss. Es ist dem Ereigniss \(B\) also gewissermassen "egal" ob \(A\) eingetroffen ist oder nicht. Was du nun tun solltest ist überprüfen ob \(E\) und \(F\) abhängig oder unabhängig sind und dann die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen.

Ich gebe dir nachfolgend eine Lösung zu \((a)\). Wenn du diese verstanden hast kannst du versuchen \((b)\) auf ähnliche Weise zu lösen.

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Jeden Wurf können wir darstellen als das Tupel \((x,y)\), wobei \(x\) den Wert des ersten und \(y\) den Wert des zweiten Würfels darstellt. Die Ergebnismenge unseres Versuches ist daher gegeben durch

\(\Omega = \{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),...\}\)
oder einfach \(\Omega = \{(x,y) \text{ so dass } 0<x,y\leq 6\}\).

Es gibt also \(|\Omega| = 6*6 = 36\) verschiedene Ergebnisse.

Es seien nun folgende Ereignisse definiert

\(E: \text{ Der erste Wüfel zeigt eine 6} = \{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\)
\(F: \text{ Die Augensumme beträgt 7} = \{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreffen entspricht
\(P(E \cap F) = P(\{(6,1)\}) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} * \frac{1}{6} = P(E) * P(F)\)
und damit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Die Ereignisse sind also unabhängig.

Es gilt demnach
\(P_E(F) = P(F) = \frac{1}{6}\)

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Wenn du noch Mühe haben solltest den Lösungsweg zu verstehen empfehle ich dir nochmal einen Blick auf folgende Grundlagen zu werfen:

• - Ergebnisse und Ereignisse
• - Produktregel
• - Bedingte Wahrscheinlichkeit

Ich habe dir einige Videos von Daniel Jung angehängt welche dir vielleicht noch weiterhelfen können.