Vektorräume, Koordinatentransformation

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Hey Leute,

ich habe hier eine wichtige Aufgabe welche zu Sonntag Abgegeben werden muss, verstehe aber leider kaum was da ich dieses Thema noch nicht so wirklich behandelt habe. Wäre nett falls mir jemand behilflich sein könnte.

Ich wäre sehr dankbar dafür!

Mit freundlichen Grüßen, Albraa

 

gefragt 1 Monat, 3 Wochen her
elawadya
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1 Antwort
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Hallo,

die 1 hast du im Prinzip richtig, nur sollst du die Punkte als Vektoren einzeichnen. Also jeweils einen Pfeil vom Ursprung des Koordinatensystems auf den bestimmten Punkt zeichnen. Selbes gilt für die 2a)

Zur 2b): ich glaube du meinst das richtige, aber ich finde es trotzdem nicht ganz richtig formuliert. Du sagst es gibt unendlich viele Punkte mit der x-Koordinate ungleich a. Aber sie haben ja alle die x-Koordinate gleich a. Vielmehr noch, könnte man die Gerade durch \( x=a \) beschreiben. Und genau da liegt das Problem. Wir haben für einen x-Wert unendliche viele Funktionswerte. 

3a) hier hast du dich etwas verrechnet. Wenn du die erste Gleichung Minus die zweite rechnest, erhälst du

$$ \lambda_ 1 = x- y $$

Und wenn du die erste vom doppelten der zweiten abziehst, erhälst du

$$ \lambda_2 = 2y-x $$

Damit bist du schon fertig. 

3b) Wir stellen ja jetzt jeden Vektor durch die Basisvektoren dar. Gucken wir uns das erstmal mit der Standardbasis an.

$$ \mathcal{A} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}  $$

Der Vektor \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) wird dann so über diese Basis dargestellt:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Deshalb schreiben wir auch als x-Komponente "x" und als y-Komponente "y", weil "x" der Vorfaktor des ersten Basisvektors ist und "y" der Vorfaktor des zweiten Basisvektors. 

Nehmen wir mal an, die Reihenfolge der Basisvektoren wäre vertauscht, dann hätten wir bzgl. dieser Basis den Vektor 

$$ \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $$

Ist das verständlich?

Nun haben wir ja in 3a) die Vorfaktoren berechnet. Es gilt

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (x-y) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (2y-x) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Deshalb ergibt sich bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \) die Darstellung

$$ \begin{pmatrix} x-y \\ 2y -x \end{pmatrix} $$

3c) kommst du hier auf die richtige Lösung nach der Erklärung? Welche Vorfaktoren brauchen wir um diese Vektoren darzustellen?

Falls etwas unverständlich ist, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

geantwortet 1 Monat, 3 Wochen her
christian_strack
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