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Hallo
Leider ist dein Beweis formal nicht korrekt aufgeschrieben und dadurch falsch.
Ich werde dir keine Lösung geben, aber wir können sie gerne gemeisam erarbeiten.
Zuerst einmal solltest du dir im Klaren sein, was du zeigen möchtest. Du möchtest beweisen, dass $A=B$ gilt unter der Vorraussetzung dass $A\cap B=A\cup B$. Wie zeigst du aber, dass zwei Mengen gleich sind?
Per Definition, sagen wir, dass $A=B$ genau dann wenn $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$. Das heisst du musst zwei Inklusionen zeigen, nämlich $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$. Nun wie zeigst du $A\subseteq B$? Ganz einfach, du musst "nur" zeigen, dass jedes Element aus $A$ auch ein Element in $B$ ist. Das heisst du wählst $a\in A$ beliebig und möchtest zeigen dass $a\in B$.
Und genau das kannst du nun z.B. machen. Ich würde es dann wie folgt strukturieren:
Beweis
$A\subseteq B$: Sei $a\in A$ beliebig. Was sagt dir nun deine Voraussetzung darüber?
$B\subseteq A$: Sei $b\in B$ beliebig. Was sagt dir nun deine Voraussetzung darüber?
Leider ist dein Beweis formal nicht korrekt aufgeschrieben und dadurch falsch.
Ich werde dir keine Lösung geben, aber wir können sie gerne gemeisam erarbeiten.
Zuerst einmal solltest du dir im Klaren sein, was du zeigen möchtest. Du möchtest beweisen, dass $A=B$ gilt unter der Vorraussetzung dass $A\cap B=A\cup B$. Wie zeigst du aber, dass zwei Mengen gleich sind?
Per Definition, sagen wir, dass $A=B$ genau dann wenn $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$. Das heisst du musst zwei Inklusionen zeigen, nämlich $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$. Nun wie zeigst du $A\subseteq B$? Ganz einfach, du musst "nur" zeigen, dass jedes Element aus $A$ auch ein Element in $B$ ist. Das heisst du wählst $a\in A$ beliebig und möchtest zeigen dass $a\in B$.
Und genau das kannst du nun z.B. machen. Ich würde es dann wie folgt strukturieren:
Beweis
$A\subseteq B$: Sei $a\in A$ beliebig. Was sagt dir nun deine Voraussetzung darüber?
$B\subseteq A$: Sei $b\in B$ beliebig. Was sagt dir nun deine Voraussetzung darüber?
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karate
Student, Punkte: 1.95K
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Hallo ich hab die Frage bearbeitet und ein weiteres Bild mit einem Ansatz hinzugefügt, der mit deiner Hilfe entstanden ist. Könntest du diesen überprüfen und mir Rückmeldung geben?
─
anonym30760
28.10.2023 um 12:18
Hallo
Wieso genau schreibst du immer $=$? Denn $A\cap B=A\cup B= a\in A\cap B$ macht gar keinen Sinn. Ich weiss nicht was $=a\in A\cap B$ bedeuten soll. Denk daran du darfst ruhig auch Sätze schreiben in deinem Beweis. Er muss nicht nur aus mathematischen Zeichen bestehen. Und falls du mathematische Zeichen benutzen möchtest, dann benutze $\Rightarrow, \Leftrightarrow$, aber dafür musst du die genaue Definition dieser Zeichen kennen. mathematische Zeichen darfst du nicht einfach so setzen wie du intuitiv das Gefühl hast.
Nun gibt es ein weiteres Problem, dein $a\in A$ ist beliebig. Doch wieso genau weisst du das $a\in A\cap B$ liegt? Es stimmt, aber dafür brauchst du ein Argument, das ist nicht ersichtlich in deinem Beweis. Denn wenn du deine Voraussetzung nicht hättest könnte es ja sein dass $a\in A\setminus B$ liegt und dann gilt $a\not \in A\cap B$. ─ karate 28.10.2023 um 14:01
Wieso genau schreibst du immer $=$? Denn $A\cap B=A\cup B= a\in A\cap B$ macht gar keinen Sinn. Ich weiss nicht was $=a\in A\cap B$ bedeuten soll. Denk daran du darfst ruhig auch Sätze schreiben in deinem Beweis. Er muss nicht nur aus mathematischen Zeichen bestehen. Und falls du mathematische Zeichen benutzen möchtest, dann benutze $\Rightarrow, \Leftrightarrow$, aber dafür musst du die genaue Definition dieser Zeichen kennen. mathematische Zeichen darfst du nicht einfach so setzen wie du intuitiv das Gefühl hast.
Nun gibt es ein weiteres Problem, dein $a\in A$ ist beliebig. Doch wieso genau weisst du das $a\in A\cap B$ liegt? Es stimmt, aber dafür brauchst du ein Argument, das ist nicht ersichtlich in deinem Beweis. Denn wenn du deine Voraussetzung nicht hättest könnte es ja sein dass $a\in A\setminus B$ liegt und dann gilt $a\not \in A\cap B$. ─ karate 28.10.2023 um 14:01
Ich gebe nicht auf! :) Ich lade jetzt meinen neuen Rechenweg hoch und würde mich auf eine erneute Rückmeldung freuen.
─
anonym30760
29.10.2023 um 18:11
Hallo
Ich finde es gut gibst du nicht auf. Du bist auf dem richtigen Weg, aber noch nicht am Ziel.
Zu den $=$. Es stimmt immer noch nicht. Beachte, dass ein $=$ zwischen zwei Mengen bedeutet, dass diese Mengen "identisch" sind respektive die gleichen Elemente beinhalten. Doch was soll $a\in A~~ \text{und}~~a\in B=a\in A~~ \text{oder}~~a\in B$ bedeuten? $a\in A~~ \text{und}~~a\in B$ ist eine Aussage und keine Menge! Du kannst Aussagen nicht gleichsetzen, du kannst höchstens sagen dass Aussagen äquivalent sind. Machen wir ein Beispiel so dass du hoffentlich verstehst, was Aussagen sind, und wieso es keinen Sinn macht diese "gleichzusetzen". Betrachte die Aussage "Nicht alle Hunde sind klein". Dann ist das äquivalent zur Aussage "Es gibt einen Hund der nicht klein ist". Das kannst du schreiben als $\text{"Nicht alle Hunde sind klein"}~~\Leftrightarrow ~~\text{"Es gibt einen Hund der nicht klein ist"}$. Aber es macht keinen Sinn zu sagen $\text{"Alle Hunde sind klein"}~~= ~~\text{"Es gibt einen Hund der nicht klein ist"}$. Dafür musst du wie schon oben beschrieben wissen was $\Rightarrow, \Leftarrow, \Leftrightarrow$ bedeuten.
Nun zum eigentlichen Beweis.
Ich betrachte nur $A\subseteq B$: Du hast dir also $a\in A$ gewählt. Deine Folgerung, dass $a\in A\cap B$ ist, ist immer noch nicht begründet. Das muss nicht immer stimmen. In diesem Fall stimmt es, aber es braucht ein Argument.
Machen wir ein Beispiel: Nehmen wir $A=\{a,u,v,w,z\}$ und $B=\{i,j,k,l\}$ dann ist $A\cup B=\{a,u,v,w,z,i,j,k,l\}$ und $A\cap B=\emptyset$. Nun ist natürlich $a\in A$ aber daraus folgt nicht dass $a\in A\cap B$ ist, denn wie du siehst ist $A\cap B$ hier leer, also beinhaltet KEINE Elemente. Trotzdem ist $a\in A\cup B$.
Du siehst an diesem Beispiel, dass nur weil $a\in A$ gilt, ist $a$ nicht umbedingt in $A\cap B$.
Aus diesem Beispiel siehst du aber worin $a$ dann sicher liegt. Natürlich ist das nur ein Beispiel, aber mathematisch kannst du das auch begründen. Also wenn $a\in A$ in welcher Menge liegt $a$ denn auch? (Denk daran du hast eigentlich nicht viele Mengen zur Auswahl, nur $A,B, A\cap B, A\cup B$) ─ karate 29.10.2023 um 19:47
Ich finde es gut gibst du nicht auf. Du bist auf dem richtigen Weg, aber noch nicht am Ziel.
Zu den $=$. Es stimmt immer noch nicht. Beachte, dass ein $=$ zwischen zwei Mengen bedeutet, dass diese Mengen "identisch" sind respektive die gleichen Elemente beinhalten. Doch was soll $a\in A~~ \text{und}~~a\in B=a\in A~~ \text{oder}~~a\in B$ bedeuten? $a\in A~~ \text{und}~~a\in B$ ist eine Aussage und keine Menge! Du kannst Aussagen nicht gleichsetzen, du kannst höchstens sagen dass Aussagen äquivalent sind. Machen wir ein Beispiel so dass du hoffentlich verstehst, was Aussagen sind, und wieso es keinen Sinn macht diese "gleichzusetzen". Betrachte die Aussage "Nicht alle Hunde sind klein". Dann ist das äquivalent zur Aussage "Es gibt einen Hund der nicht klein ist". Das kannst du schreiben als $\text{"Nicht alle Hunde sind klein"}~~\Leftrightarrow ~~\text{"Es gibt einen Hund der nicht klein ist"}$. Aber es macht keinen Sinn zu sagen $\text{"Alle Hunde sind klein"}~~= ~~\text{"Es gibt einen Hund der nicht klein ist"}$. Dafür musst du wie schon oben beschrieben wissen was $\Rightarrow, \Leftarrow, \Leftrightarrow$ bedeuten.
Nun zum eigentlichen Beweis.
Ich betrachte nur $A\subseteq B$: Du hast dir also $a\in A$ gewählt. Deine Folgerung, dass $a\in A\cap B$ ist, ist immer noch nicht begründet. Das muss nicht immer stimmen. In diesem Fall stimmt es, aber es braucht ein Argument.
Machen wir ein Beispiel: Nehmen wir $A=\{a,u,v,w,z\}$ und $B=\{i,j,k,l\}$ dann ist $A\cup B=\{a,u,v,w,z,i,j,k,l\}$ und $A\cap B=\emptyset$. Nun ist natürlich $a\in A$ aber daraus folgt nicht dass $a\in A\cap B$ ist, denn wie du siehst ist $A\cap B$ hier leer, also beinhaltet KEINE Elemente. Trotzdem ist $a\in A\cup B$.
Du siehst an diesem Beispiel, dass nur weil $a\in A$ gilt, ist $a$ nicht umbedingt in $A\cap B$.
Aus diesem Beispiel siehst du aber worin $a$ dann sicher liegt. Natürlich ist das nur ein Beispiel, aber mathematisch kannst du das auch begründen. Also wenn $a\in A$ in welcher Menge liegt $a$ denn auch? (Denk daran du hast eigentlich nicht viele Mengen zur Auswahl, nur $A,B, A\cap B, A\cup B$) ─ karate 29.10.2023 um 19:47
a liegt auf jeden Fall in A ∪ B.
─
anonym30760
29.10.2023 um 20:18
Ja genau, du weisst zu Beginn nur, dass $a\in A\cup B$. Was sagt dir nun die Annahme?
─ karate 29.10.2023 um 20:20
─ karate 29.10.2023 um 20:20
Ja genau! Also kannst du das z.B. wie folgt notieren:
$A\subseteq B$: Sei $a\in A$ beliebig, per Definition ist $a\in A\cup B$. Da nun $A\cup B=A\cap B$ folgt, dass $a\in A\cap B$, was per Definition wiederum bedeutet, dass $a\in B$.
Die Andere Inklusion geht analog. Falls es du aber noch hier hochladen möchtest zur Kontrolle darfst du das.
Falls sich die Frage nun geklärt hat, bitte ich dich die Antwort abzuhaken mit dem grünen Haken links neben der Antwort. ─ karate 29.10.2023 um 20:38
$A\subseteq B$: Sei $a\in A$ beliebig, per Definition ist $a\in A\cup B$. Da nun $A\cup B=A\cap B$ folgt, dass $a\in A\cap B$, was per Definition wiederum bedeutet, dass $a\in B$.
Die Andere Inklusion geht analog. Falls es du aber noch hier hochladen möchtest zur Kontrolle darfst du das.
Falls sich die Frage nun geklärt hat, bitte ich dich die Antwort abzuhaken mit dem grünen Haken links neben der Antwort. ─ karate 29.10.2023 um 20:38
Super dankeschön, ich hab zunächst die Aussage erstmal zurückgezogen bin etwas herumgelaufen, um mir das nochmal gedanklich vorzustellen und das Gegenbeispiel von dir zu vergegenwärtigen. Ich wollte das gleiche nochmal schreiben und hab jetzt deine Antwort gelesen. Vielen Dank!
─
anonym30760
29.10.2023 um 20:41
Kein Problem. Hab gesehen, dass du andere ähnliche Fragen hochgeladen hast, diese solltest du nun auch besser lösen können hoffe ich einmal.
─
karate
29.10.2023 um 20:42
Ich habe nochmal etwas zur Kontrolle hochgeladen und hoffe, dass es letztendlich geklappt hat.
─
anonym30760
29.10.2023 um 21:03
Das sieht sehr fiel besser aus. Ich habe noch 2 Bemerkungen:
1. Bei beiden Voraussetzungen, nimm "$\Rightarrow A=B$" weg, denn das ist ja das was du zeigen möchtest, das ist keine Voraussetzung. Die Voraussetzung/Annahme ist nur $A\cap B=A\cup B$.
2. Nimm nach "Beweis:" das $A\cup B$ weg, wieso steht das dort? Das trägt meiner Meinung nach nichts zum Beweis bei. ─ karate 29.10.2023 um 21:11
1. Bei beiden Voraussetzungen, nimm "$\Rightarrow A=B$" weg, denn das ist ja das was du zeigen möchtest, das ist keine Voraussetzung. Die Voraussetzung/Annahme ist nur $A\cap B=A\cup B$.
2. Nimm nach "Beweis:" das $A\cup B$ weg, wieso steht das dort? Das trägt meiner Meinung nach nichts zum Beweis bei. ─ karate 29.10.2023 um 21:11
Das habe ich jetzt gemacht, nochmals danke!
─
anonym30760
29.10.2023 um 21:16