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Hallo,
da der Nullvektor nach Definition immer Element eines Vektorraums ist, benötigt er keinen Vektor um erzeugt zu werden.
Die lineare Hülle des Nullvektorraums ist also immer leer.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Danke, Christian! Anscheinend gibt es aber zwei Erzeugendensysteme. Siehe meine Ergänzung in der Frage. Und ich würde gern verstehen, welche. VG, Adrian
─
adrian142
22.10.2019 um 13:38
Das erste habe ich im Prinzip oben schon angedeutet. Da das Erzeugendensystem eine Menge ist, haben wir als erstes Erzeugendensystem die leere Menge:
$$ \emptyset := \{ \}$$
Wenn ich weiter drüber nach denke, kann es wenn nur ein anderes Erzeugendensystem geben. Da wir nur den Nullvektor haben, und der Nullvektor mutlipliziert mit einem beliebigen Skalar wieder den Nullvektor ergibt, ist natürlich
$$ \{ 0 \} $$
auch ein Erzeugendensystem.
Andere kann es nicht geben.
Grüße Christian ─ christian_strack 22.10.2019 um 13:50
$$ \emptyset := \{ \}$$
Wenn ich weiter drüber nach denke, kann es wenn nur ein anderes Erzeugendensystem geben. Da wir nur den Nullvektor haben, und der Nullvektor mutlipliziert mit einem beliebigen Skalar wieder den Nullvektor ergibt, ist natürlich
$$ \{ 0 \} $$
auch ein Erzeugendensystem.
Andere kann es nicht geben.
Grüße Christian ─ christian_strack 22.10.2019 um 13:50
HUH? Wie kann man aus der leeren Menge mit Multiplikation etwas erzeugen? Also \( n\cdot 0\neq 0 \) geht doch?
─
stehgold
24.10.2019 um 11:55
Die leere Summe von Vektoren liefert nach Definition den Nullvektor. Das ist deshalb sinnvoll, da wie bereits erwähnt der Nullvektor in jedem Vektorraum enthalten sein muss.
Wenn du dir Vektoren als Bewegungen vorstellst, macht es auch Sinn, denn:
Wir starten im Urpsrung. Nun haben wir eine leere Summe, was bedeutet das von unserem Punkt aus keine Bewegung statt findet. Wir sind also immer noch im Ursprung.
$$ n \cdot 0 = 0 : \forall n \in \mathbb{R} $$
Aus diesem Grund, ist \( \{ 0 \} \) ein Erzeugendensystem.
Ich hoffe es ist jetzt verständlicher.
Grüße Christian ─ christian_strack 24.10.2019 um 12:13
Wenn du dir Vektoren als Bewegungen vorstellst, macht es auch Sinn, denn:
Wir starten im Urpsrung. Nun haben wir eine leere Summe, was bedeutet das von unserem Punkt aus keine Bewegung statt findet. Wir sind also immer noch im Ursprung.
$$ n \cdot 0 = 0 : \forall n \in \mathbb{R} $$
Aus diesem Grund, ist \( \{ 0 \} \) ein Erzeugendensystem.
Ich hoffe es ist jetzt verständlicher.
Grüße Christian ─ christian_strack 24.10.2019 um 12:13
Hallo, genau da liegt mein Problem. Leer ist für mich gar nichts. Keine Bewegung ist für mich *eine* Bewegung mit Geschwindigkeit 0.
─
stehgold
24.10.2019 um 12:26
Deshalb gibt es eben auch diese beiden Erzeugendensysteme, denn es gibt eben beide Möglichkeiten.
Entweder wir bewegen uns mit Geschwindigkeit 0 (also verändert sich nicht unser Ort) oder wir bewegen uns gar nicht. In beiden Fällen bleiben wir auf dem Ursprung stehen.
Grüße Christian ─ christian_strack 25.10.2019 um 10:43
Entweder wir bewegen uns mit Geschwindigkeit 0 (also verändert sich nicht unser Ort) oder wir bewegen uns gar nicht. In beiden Fällen bleiben wir auf dem Ursprung stehen.
Grüße Christian ─ christian_strack 25.10.2019 um 10:43