Wasserstand in Rotationskörper

Aufrufe: 1332     Aktiv: 02.07.2019 um 23:03
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Hallo Leute,

ich komm wiedrmal nicht weiter und bitte um eure Hilfe:

Die Angabe lautet:

  • Der Hohlraum einer Sektschale entsteht durch Rotation der Funktion f(x)=k*x² um die y-Achse. Der Hohlraum ist 4cm hoch und der Rand hat einen Radius von 6cm. Wie hoch steht der Flüssigkeitsspiegel im Glas, wenn 1/10l Sekt drinnen ist?

Also ich habe mir mal das Gesamtvolumen ausgerechnet, doch wie geht es jetzt weiter?

Ich meine es geht um 100cm³ Flüssigkeit die da rein passen müssen, aber das wird halt schwierig in 4,19cm³...
Hab ich mich da irgendwo verrechnet oder hab ich einen falschen Gedankengang?

 

LG Andi

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Wenn du die Funktion hast, spiegel sie an der x=y Achse und setzte das Integral von 0 bis x mit der Flüssigkeit gleich. Vergiss das pi nicht, da es sich um ein Rotationskörper handelt.

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Schüler, Punkte: 60

 
Kann ich diese einfach dann mit der Ursprünglichen Gleichung f(x)=kx^2 berechnen? (Ist ja die Funktion auf der x-Achse oder?
Und für die Grenze nehm ich dann einfach 0 bis 1/10?
Danke schonmal :)
  ─   Andi 30.06.2019 um 12:34
Sorry, für die späte Antwort, aber deshalb kommt jetzt ein wichtiger Tipp:
Bei einer Parabel solltest du sie immer an der \(y=x\) Achse spiegeln um das Integral herauszubekommen. Dies geht hier so:
\(f(x)=k*x^2\)
= \(x=k*y^2\)
daher:
\(x/k=y^2\) und davon die Wurzel.
Dann muss der Inhalt von 0 bis x = der Flüssigkeit sein.
Verstanden? Sonst kann ich dich nochmal privat anschreiben.   ─   screamer 02.07.2019 um 20:53

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Hallo!

 

Wie Du schon richtig nach \(\displaystyle  x\) umgestellt hast:

 

\(\displaystyle  x = \sqrt{\frac{y}{k}}\) – damit das Integral \(\displaystyle  \frac{\pi}{k}\cdot\int_{0}^{a}y\,\mathrm{d}y = \frac{\pi}{k}\cdot\frac{a^2}{2}\), wobei hier \(\displaystyle  k = \frac{4}{9}\) ist.

 

Nun muss aber 

 

\(\displaystyle  a^2\frac{9\pi}{8} = \frac{1}{10} \quad\Longleftrightarrow\quad a = +\sqrt{\frac{8}{90\pi}} \approx 0.53\). Dies eingesetzt in die Funktion \(\displaystyle  \frac{4}{9}x^2\) ergibt somit das ungefähre Ergebnis \(\displaystyle  0.12\).

 

Also das Prinzip dahinter ist, dass man die Grenze bestimmt, mit der man das Volumen hat und man somit \(\displaystyle  x = \text{Obere Grenze}\) hat und diese dann einfach in die Ausgangsfunktion einsetzt und man somit die Höhe hat.

 

Gruß.

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hmmm... wie kommst du auf k= 4/9, bzw. a^2*(9pi/8) ?
Den Rest verstehe ich danke deiner Erlärung :) DANKE!   ─   Andi 01.07.2019 um 10:10
Nun, der Rand hat einen Radius von \(\displaystyle 6\), wenn man nun \(\displaystyle f(3) \overset{!}{=} 4\) setzt (\(\displaystyle 4\) ist die Höhe des Glases), so kommt man auf die besagten \(\displaystyle \frac{4}{9}\). Wenn Du nun diesen Wert für \(\displaystyle k\) einsetzt und \(\displaystyle \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}\) einsetzt, so erhälst Du den besagten Koeffizienten.   ─   einmalmathe 02.07.2019 um 23:03

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