Hallo!

Ich habe die Aufgabe, eine Basis für den Vektorraum

W := {f : [0, 1] → R | f(x) = 0 bis auf endlich viele x ∈ [0, 1]}

zu ermitteln.

Vorher habe ich bestimmt, dass

W(n) := {f : [0, 1] → R | deg(f) = n   ∀n ∊ N}

einen Teilraum von W für alle natürlichen Zahlen definieren müsste.

Dann ich auf das Ergebnis gekommen, dass ein Teilraum W(n) die Basis {x^0, x^1, ... , x^n} haben sollte.
Die einzelnen Elemente sind linear unabhängig, und sollten den gesamten Raum spannen.

Nun glaube ich aber, dass diese Basis beispielsweise nicht f(x) = sqrt(x) spannt.
Denn x^(1/2) ist ja nicht in der Definition enthalten, da 0,5 nicht Element von N ist.

Online habe ich aber Videos gefunden, die meine Lösung so wie ich es verstanden habe auch so dargelegt haben, aber dieses Problem bspw. nicht auffassen.

Habe ich hier irgendwo einen (oder 50) Fehler?

Danke!