Hallo,

eine Relation \( R \) zwischen zwei Mengen (\(A \) und \(B\)) ist mathematisch gesehen erstmal nichts anderes als eine Teilmenge des kartesischen Produktes.

$$ R \subseteq A \times B = \{ (a,b) | a \in A, \ b \in B \} $$

Eine Relation sagt aus, welche Elemente aus \( A \) in Verbindung zu bestimmten Elementen aus \( B \) steht. 

$$ (a,b) = a \sim b $$

bedeutet, dass \( a \) in Relation zu \( b \) steht. 

Einer der ersten Relationen die man so kennen lernt ist kleiner/größer Relation. Nehmen wir mal

$$ A = B = \{1,2,3\} $$

und als Relation \( < \). Dann gilt \( 1< 2 \), \( 2< 3 \) und \( 1<3 \). Damit würden wir die Relation

$$ R := \{ (1,2),(1,3),(2,3) \} $$

Wir haben also zwei Möglichkeiten Relationen darzustellen. Einmal können wir die Relation selbst definieren wie \( < \). Dadurch ergibt sich dann welche Elemente in Relation stehen, oder wir geben einfach eine Teilmenge des kartesischen Produktes an.

$$ R' := \{ (1,1), (2,1) , (3,1) \} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} $$

Dies wäre auch eine Relation auf \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \). Auch wenn wir erstmal keine reale Anwendung dafür kennen.

Nun zu deinen Begriffen. Es gibt bestimmte Eigenschaften die so eine Relation erfüllen kann. Je nachdem welche Elemente in Relation stehen. Diese Eigenschaften machen aber nur Sinn, wenn wir

$$ A=B = M $$

setzen. Im Folgenden ist

$$ R \subseteq M \times M $$

Reflexivität: 

$$ \forall x \in M : (x,x) \in R $$

Das bedeutet, dass jedes Element zu sich selbst in Relation steht. 

Das wäre bei der Relation \( < \) nicht gegeben, denn kein Element ist kleiner als es selbst. Allerdings wäre dies bei der Relation \( \leq \) erfüllt werden, denn jedes Element ist gleich zu sich selbst. 
Reflexivität wäre beispielsweise auch bei der Teilbarkeitsrelation erfüllt, denn jedes Element ist durch sich selbst teilbar.

Transitivität:

$$ \forall x,y,z \in M : (x,y) \in R \land (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R $$

Also wenn \( x \) in Relation zu \( y \) steht, und \( y \) in Relation zu \( z \), dann muss auch \( x \) in Relation zu \( z \) stehen.

Das ist beispielsweise bei der Relation \( < \) erfüllt, denn wenn \( x \) kleiner als \( y \) ist und \( y \) kleiner als \( z \), ist logischerweise auch \( x \) kleiner als \( z \).

Symmetrie: 

$$ \forall x,y \in M : (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R $$

Wenn \( x \) in Relation zu \( y \) steht, dann muss auch \( y \) in Relation zu \( x \) stehen. 

Dies wird beispielsweise durch die Gleichheit von Zahlen \( = \) erfüllt, denn ist \(x \) die selbe Zahl wie \( y \), dann ist auch \( y \) die selbe Zahl wie \( x \).

Antisymmetrie:

$$ \forall x,y \in M: (x,y) \in R \land (y,x) \in R \Rightarrow x=y $$

Das wäre offensichtlich ebenfalls durch die Gleichheit erfüllt. Aber auch zum Beispiel die Teilmengenrelation. Denn wenn

$$ A \subseteq B $$

und 

$$ B \subseteq A $$

dann

$$ A = B $$

Um die Eigenschaften zu überprüfen, schaust du ob die Paare in der Relation die Eigenschaften erfüllen. Wie bereits gesagt wurde, kann man die Anwendung am Besten an einem Beispiel erklären.
Wenn also noch etwas unklar ist, lade am Besten einmal eine Beispielaufgabe mit hoch.

Grüße Christian