Hallo,
ich möchte zeigen, dass die Menge der rationalen Zahlen in IR weder offen noch abgeschlossen sind.
Mein Ansatz beruht auf der Betrachtung des offenen \(\epsilon \)-Balls um ein beliebiges \(x\) aus Q:
\( U(x,\epsilon)=\{ y \text{ aus Q } | \text{ }d(x,y)<\epsilon\} \)
In diesem Ball befinden sich Elemente aus IR welche nicht in Q liegen. Demnach kann Q nicht offen sein.
Bei der Betrachtung des Komplements \( IR \text{ \ }Q\) fällt auf, dass
\( U(z,\epsilon)=\{ y \text{ aus IR\Q } | \text{ }d(z,y)<\epsilon\} \)
Elemente aus Q enthält, weshalb das Komplement nicht offen und damit Q nicht abgeschlossen sein kann.
Ist meine Argumentation richtig (und ausreichend) ?
Liebe Grüße
Philipp