Menge der rationalen Zahlen Q in R offen/abgeschlossen?

Aufrufe: 3400     Aktiv: 19.06.2020 um 04:23

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Hallo,

 

ich möchte zeigen, dass die Menge der rationalen Zahlen in IR weder offen noch abgeschlossen sind.

Mein Ansatz beruht auf der Betrachtung des offenen \(\epsilon \)-Balls um ein beliebiges \(x\) aus Q:

\( U(x,\epsilon)=\{ y \text{ aus Q } | \text{ }d(x,y)<\epsilon\} \)

In diesem Ball befinden sich Elemente aus IR welche nicht in Q liegen. Demnach kann Q nicht offen sein.

Bei der Betrachtung des Komplements \( IR \text{ \ }Q\) fällt auf, dass

\( U(z,\epsilon)=\{ y \text{ aus IR\Q } | \text{ }d(z,y)<\epsilon\} \)

Elemente aus Q enthält, weshalb das Komplement nicht offen und damit Q nicht abgeschlossen sein kann. 

Ist meine Argumentation richtig (und ausreichend) ?

 

Liebe Grüße

Philipp

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Student, Punkte: 47

 

Danke für den Hinweis. Habe mich beim Formulieren vertippt.   ─   philipp1887 18.06.2020 um 01:25

Ich würde für den ersten Teil nicht das \(x\), sondern das \(\varepsilon\) beliebig wählen.

An sich stimmen die Aussagen, die du da getroffen hast, aber ich denke du müsstest auch noch zeigen, dass sie wahr sind.
  ─   chrispy 18.06.2020 um 10:44

@phi Meine Überlegung beruht darauf, dass egal wie groß/klein wir das \(\epsilon\) wählen, dass es immer Punkte gibt, welche zu IR gehören.
Und ich dachte es geht im Großen und Ganzen genau um das. Ich versuche oft mir die Probleme Bildlich vorzustellen, was hier auch vielleicht ein Problem ist.

@chrispy \(\epsilon\) beliebig macht mehr Sinn, ja.

  ─   philipp1887 18.06.2020 um 18:27
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2 Antworten
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Hallo Philipp,

Deine erste Aussage ist korrekt.  Q ist nach Definition der offenen Menge in metrischen Räumen nicht offen. Die zweite Aussage ist auch richtig (sry hatte das vorhin mit verwechselt).

MfG Thomas

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Hallo Thomas,

danke für deine Antwort.
Wäre die Folge \( (1+ \frac{1}{n})^n \) ein geeigneter Kandidat? Soweit ich weiß besitzt diese den Grenzwert e.

Mir ist nur leider nicht klar, weshalb Q dann nicht abgeschlossen ist. Hast du da eine passende Definition oder Erläuterung parat ?

Liebe Grüße
Philipp
  ─   philipp1887 18.06.2020 um 18:41

Allerdings kann man tatsächlich doch sagen: M abgeschlossen ist äquivalent zu jede konvergente Folge in M hat ihren Grenzwert in M. https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS17XX56767.pdf&ved=2ahUKEwjaydCE6YzqAhWvlYsKHeA8C5AQFjAAegQIARAB&usg=AOvVaw2oUF7OYuz72Nv3e9w0Mb8C   ─   tkslim 19.06.2020 um 04:23

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Deine Argumentation ist richtig. Ich versuche mal, es etwas formaler zusammenzufassen:

(Wir betrachten den normierten Raum \(( \mathbb{R}, \vert \cdot \vert) \) mit der induzierten Topologie)

Wäre \( \mathbb{Q} \) offen, dann gäbe es zu \( x \in \mathbb{Q} \) ein \( \varepsilon > 0\) mit \( U(x, \varepsilon) \subset \mathbb{Q}\), aber \(U(x, \varepsilon)\) enthält auch Punkte aus \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).

Wäre \( \mathbb{Q} \) abgeschlossen, dann wäre \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) offen und somit gäbe es zu \(x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) ein \( \varepsilon > 0\) mit \( U(x, \varepsilon) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \), aber \(U(x, \varepsilon)\) enthält auch Punkte aus \( \mathbb{Q} \).

In beiden Fallen erhält man also einen Widerspruch. Somit ist \( \mathbb{Q} \) weder offen noch abgeschlossen.

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Student, Punkte: 7.05K

 

Danke für deine Antwort. Das ist in etwa das, was ich dachte.
Jedoch bekomme ich hier ganz unterschiedliche Rückmeldungen.
  ─   philipp1887 18.06.2020 um 19:50

Die anderen Antworten kann ich mir auch nicht wirklich erklären. Wahrscheinlich liegt es daran, dass deine Ausführungen formal nicht ganz korrekt waren. Die Idee ist aber richtig.   ─   42 18.06.2020 um 20:03

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