Möglich ist das, aber viel zu umständlich! Wenn du nur zwei Vektoren hast, musst du doch nur schauen, ob der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Das bekommt man ganz leicht hin, wenn man die Komponenten miteinander vergleicht. Dafür braucht man kein LGS und erst recht nicht Gauß. 

Beispiel: Die Vektoren \((1,2,3)^T\) und \((2,4,5)^T\) sind linear unabhängig, denn die dritte Komponente des zweiten Vektores ist nicht das Doppelte der dritten Komponente des ersten Vektors. 

Hey saphier,

poste gern noch deine Matrix bzw. deine Vektoren um eine detailliertere Antwort zu erhalten!

Du kannst den Gauß-Algorithmus auch auf eine rechteckige Matrix anwenden. Die Schritte sind die gleichen und die Umformungen sind auch hier erlaubt. Du erhälst zum Beispiel für eine 3x4-Matrix eine Form:

\( \begin{pmatrix} a_{1} && a_{2} && a_{3}&&a_{4}\\b_{1} && b_{2} && b_{3}&&b_{4}\\ c_{1} && c_{2} && c_{3}&&c_{4} \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{pmatrix}a_{1} && a_{2}' && a_{3}'&&a_{4}'\\0&& b_{2}' && b_{3}'&&b_{4}'\\ 0 && 0 && c_{3}'&&c_{4} '\end{pmatrix} \)

Diese untere Dreiecksform ist das Beste was du hier mit Gauß erreichst im Allgemeinen. Im Speziellen könnte es natürlich sein, dass sich noch mehr wegkürzt, dazu müsste ich die Vektoren sehen. Aber vielleicht hilft dir schon diese Form bei der Unabhängigkeit, du hast immerhin in deinem zweiten Vektor eine Variable eliminiert.

Wenn sich nichts weiter schön gekürzt hat wäre der nächste Schritt eine der übrigen Koordinaten als freien Parameter zu wählen und zu sehen wie du in Abhängigkeit von diesem auf die anderen kommst. 

Mehr kann ich Allgemein leider nicht sagen.

Viele Grüße, jojoliese