\(\rho=\infty\) ist richtig, nicht aber die Herleitung (man kann auch mit falschen Begründungen auf richtige Ergebnisse kommen).

In der Reihendarstellung haben wir \(\sin x = \sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i \Longrightarrow
a_i=\begin{cases} (-1)^{(i-1)/2}\frac1{i!} & \text{falls } i
      \text{ ungerade}\cr
  0 & \text{falls } i \text{ gerade}\cr\end{cases}\).

Das bedeutet, die meisten Kriterien (Quotientenk.) und Formeln für den Konvergenzradius sind nicht anwendbar, denn jedes zweites \(a_i\) ist ja null. Was geht ist das Wurzelkriterium, ist aber kein Selbstläufer...