Zeigen, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Aufrufe: 252     Aktiv: 21.11.2023 um 17:36

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Es geht hier um Aufgabe 2. Ich habe bei Aufgabe 1 wieder $g^{-1}$ rausbekommen. Ich weiß noch nicht so ganz wie ich die Abbildung verstehen soll. Ich "schicke" die Permutation $h$ auf die Permutation $ghg^{-1}$? Ich verstehe unter Permutationen ebenso Abbildungen: Das heißt ich nehme die jeweiligen Funktionswerte aus $h$ und schicke sie zu den Funktionswerten aus $ghg^{-1}$, was ja $g^{-1}$ sein sollte. Meine Idee ist mich um den Gruppenhomomorphismus zuerst zu kümmern und dann die Bijektivität zu zeigen. Die Eigenschaft des Gruppenhomomorphismus ist mir bekannt. Aber wie wende ich das auf Permutationen an?

EDIT vom 19.11.2023 um 19:48:

Meine Rechnung zu 1):

EDIT vom 19.11.2023 um 19:58:

Meine korrigierte Rechnung zu 1):
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Um zu zeigen dass $\phi\colon h\mapsto ghg^{-1}$ ein Gruppenisomorphismus ist, reicht es einfach das Inverse hinzuschreiben: $\psi\colon h\mapsto g^{-1}hg$. Dann ist $\phi\psi(h) = \phi(g^{-1}hg) = g(g^{-1}hg)g^{-1} = h$ und genauso für $\psi\phi$.   ─   zestysupreme 19.11.2023 um 19:47
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$ghg^{-1}$ ist eine Verkettung, zuerst kommt $g^{-1}$, danach $h$ usw. Dann stellt sich raus, dass $ghg^{-1}\neq g^{-1}$.
Kurz: Mach erstmal 1. richtig, dann klappt's vlt danach auch mit 2.
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Ich habe Ihnen nochmal die Rechnung für 1) geschickt. Es kann natürlich sein, dass ich nicht verstanden habe, wie man das rechnet. Edit: Ich sehe gerade den Fehler   ─   unclever2001 19.11.2023 um 19:49

Links unten hast Du h hingeschrieben, da muss aber g stehen. Deine Notation finde ich verwirrend. Man kann direkt durch Ablesen nacheinander aus h und g die gesuchte neue Abbildung bestimmen.
Du hast kompliziert, aber richtig gerechnet: Denn $h=h^{-1}$, und damit ist $hh^{-1}g^{-1}=g^{-1}$.... war aber nicht gefragt.
  ─   mikn 19.11.2023 um 19:57

Jetzt stimmt's.   ─   mikn 19.11.2023 um 20:08

Sorry das ich triviale Sachen frage: Ablesen ist ja quasi das was ich gemacht habe nur Schrittweise. Ich müsste halt in meinem Kopf nacheinander ablesen von $g^{-1}$ bis $g$, was aber (zumindest bei mir) zu Fehlerquellen führen könnte, weshalb es rechnerisch besser wäre? Aber vielleicht verstehe ich dich gerade falsch. Ich verstehe nämlich nicht so ganz wie du auf $h=h^{-1}$ kommst und auf deine andere Formel.   ─   unclever2001 19.11.2023 um 20:13

Ich hab $ghg^{-1}$ so bestimmt: 2->1->3->3, 1->2->...usw.. Ohne Zwischenrechnung direkt hinschreiben. $h=h^{-1}$: Vertausche doch beide Zeilen in $h$, was ändert sich? Beachte, das sind keine Matrizen, sondern Wertetabellen.   ─   mikn 19.11.2023 um 20:21

Ah ok, das Ablesen habe ich also richtig verstanden. Ja das mit $h=h^{-1}$ habe ich jetzt auch gesehen, Die Zuordnung ändert sich ja nicht, wenn ich die Spalten vertausche. Danke.
Es hilft mir nur noch nicht bei Aufgabe 2 zum Verständnis aber ich kann erstmal weiterversuchen. Mit zestysupreme's Kommentar verstehe ich, dass ich nur zeigen muss, dass es eine Umkehrabbildung gibt. Damit kann ich auch auf Bijektivität schließen. Ich weiß nur nicht inwiefern gezeigt worden ist, dass es ein Gruppenhomomorphismus ist. Also ich kann noch nicht unsere Definition des Homomorphismus erkennen: $f(a \dot b) = f(a) * f(b)$ (mit f: G -> H und $a,b\in G$).
  ─   unclever2001 19.11.2023 um 21:08

Zeige zuerst, dass die Abb. ein GH ist (das ist ein Einzeiler). Um dann zu zeigen, dass dieser GH auch ein GI ist, benutze zestys Tipp. Der entspricht im übrigen genau der Def., wie sie bei wikipedia steht. Schau nach, welche in Deinen Unterlagen steht.   ─   mikn 19.11.2023 um 22:24

Ok habe den GH gezeigt für $h,g \in G$. Ich habe bereits gesehen, dass die Definition von zestys Tipp die der von Wikipedia gleichsteht, aber trotzdem danke für den Hinweis. Also in meinen Unterlagen steht nur das es sich um einen bijektiven Gruppenhomomorphismus handelt mit der Eigenschaft, dass "Isomorph sein" eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Gruppen sei. In dem Fall ist die Wikipedia Definition zugänglicher für mich.
Ich bin nach zestys Tipp vorgegangen und bin bei beiden auf $id_{G}$ gekommen, somit sollte dies passen.
  ─   unclever2001 19.11.2023 um 23:37

"Ok habe den GH gezeigt für h,g∈G." Das klingt merkwürdig. Die GH-Eigenschaft ist keine Eigenschaft einzelner Elemente. Es muss dazu die Bedingung $\phi(fg)=\phi(f)\phi(g)$ für alle $f,g\in G$ nachgewiesen werden.
Dass die Bedingung von zesty/wikipedia zu der in Deinen Unterlagen äquivalent ist, musst Du im Zweifelsfall auch noch nachweisen.
  ─   mikn 20.11.2023 um 09:46

Stimmt, mein Fehler. Ich habe mit $h,g \in G$ beliebige Elemente gemeint. In der Aufgabe wurde ja ebenfalls $g\in G$ als ein Element bezeichnet und ich war mir sicher, dass damit gemeint war das $g$ ein beliebiges Element ist. Ich sehe auch gerade in meiner Korrektur, dass diese Verwechslungsgefahr besteht. Mein Term sah so aus: $\phi(hg)=\phi(h) \cdot \phi(g) =g(hg)g^{-1} = g(h)g^{-1} g(g)g^{-1} = gh$. Ich bin davon ausgegangen, dass damit die Bedingung, dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, bewiesen worden ist, aber mir wurde noch angemerkt, dass $\phi(h) \cdot \phi(g)$ rauskommen soll. Letztlich hatte noch meine Definition von $\psi$ gefehlt.
Das die Bedingung von Wikipedia zu meinen Unterlagen äquivalent sein muss habe ich mir jetzt so geschlussfolgert: Wir haben bereits in Analysis gezeigt, dass eine Abbildung f: A -> B bijektiv ist, wenn es eine inverse Abbildung g: B -> A gibt mit $g\cdot f = id_{A}$ und $f\cdot g = id_{B}$. Und da laut meinen Unterlagen der Gruppenisomorphismus ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist, brauche ich ja nur diese Bedingung prüfen um die Bijektivität zu zeigen.
  ─   unclever2001 20.11.2023 um 13:26

Das hab ich befürchtet, so eben gerade nicht. Ich hatte die Bezeichnungen aber auch falsch. Also: g ist fest. Zeige die Eigenschaft also für $u,v\in G$. Und schreib es strukturiert auf, d.h mische nicht die Beh. in den Beweis rein.   ─   mikn 20.11.2023 um 14:46

Deine Überlegung zu bijektiv bzw. Isomorphismus ist richtig.   ─   mikn 20.11.2023 um 17:48

Also ich habe jetzt einfach $\phi(uv)=guvg^{-1}$ in einer Zeile geschrieben und eine Zeile darunter $\phi(u) \phi(v) = gug^{-1}gvg^{-1} = guvg^{-1}$. Damit habe ich ja gezeigt, dass sie gleich sind. Reicht das aus oder habe ich wieder die Behauptung eingemischt?   ─   unclever2001 21.11.2023 um 17:26

Ja, reicht, jetzt hast du es ja sauber getrennt.
Mit etwas Übung kann man das noch schöner in einer =-Kette von der einen Seite der Beh. zur anderen schreiben. Tipp dabei: mit der komplizierter aussehenden Seite anfangen.
  ─   mikn 21.11.2023 um 17:34

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