Integration über Untermannigfaltigkeiten

Aufrufe: 77     Aktiv: 09.07.2022 um 16:00

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Ich habe die Menge \( M:=\{\exp (t)(\cos (t), \sin (t)) \mid t \in[0,2 \pi]\} \) zusammen mit der Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x, y)=x^{2}+y^{2} \) gegeben und soll das Integtal: \(\int \limits_{M} f \mathrm{~d} S_{M} \) berechnen.

Zur Notation aus unserer VL:
Sei $M \subset \mathbb{R}^n$ eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit globaler Karte $\phi: U \subset \mathbb{R}^k \rightarrow M$. Die Funktion $f:M \rightarrow \mathbb{R}$ ist auf M integrierbar, wenn $x \mapsto f(\phi(x)) \sqrt{\det(D \phi(x))^t(D \phi(x))}$ über $U$ integrierbar ist. Dann ist das Integral von f über M durch:
$$\int \limits_{M} f \mathrm{~d} S_{M} := \int \limits_{U} f(\phi(x)) \sqrt{\det(D \phi(x))^t(D \phi(x))} \mathrm{~d} U$$
definiert.

Meine Frage zur Aufgabe: Wie gelange ich an die globale Karte $\phi$? Danach würde ich das ganze ggf. auflösen so gut es geht und den Rest vermutlich mit den Transformationsregeln berechnen. Dafür bräuchte ich halt erstmal diese Karte, da weiß ich halt nur nicht, wie ich an sie gelange.
Könnte mir da jemand behilflich sein?
Hat jemand auch zufällig Literaturempfehlungen für die Themen: mehrdimensionale Integration, Transformationsregeln, Integration über Untermannigfaltigkeiten und dem Gaußschen Integrationssatz?

LG
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Überlege zunächst: was ist hier $k$?
Dann schaue, was für $\phi$ gelten soll, und was über $M$ bekannt ist. Dann sollte klar sein, wass $\phi$ ist und auch, was $U$ ist. Weise noch nach, dass Dein gefundenes $\phi$ die Eigenschaften einer (globalen) Karte besitzt.
Das Berechnen des Integrals sollte dann nicht mehr schwer sein.
Was Du mit "Auflösen" und "Transformationsregeln" noch machen willst, weiß ich. Das ist einfach Einsetzen und Ausrechnen.
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