Ich habe die Menge \( M:=\{\exp (t)(\cos (t), \sin (t)) \mid t \in[0,2 \pi]\} \) zusammen mit der Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x, y)=x^{2}+y^{2} \) gegeben und soll das Integtal: \(\int \limits_{M} f \mathrm{~d} S_{M} \) berechnen.

Zur Notation aus unserer VL:
Sei $M \subset \mathbb{R}^n$ eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit globaler Karte $\phi: U \subset \mathbb{R}^k \rightarrow M$. Die Funktion $f:M \rightarrow \mathbb{R}$ ist auf M integrierbar, wenn $x \mapsto f(\phi(x)) \sqrt{\det(D \phi(x))^t(D \phi(x))}$ über $U$ integrierbar ist. Dann ist das Integral von f über M durch:
$$\int \limits_{M} f \mathrm{~d} S_{M} := \int \limits_{U} f(\phi(x)) \sqrt{\det(D \phi(x))^t(D \phi(x))} \mathrm{~d} U$$
definiert.

Meine Frage zur Aufgabe: Wie gelange ich an die globale Karte $\phi$? Danach würde ich das ganze ggf. auflösen so gut es geht und den Rest vermutlich mit den Transformationsregeln berechnen. Dafür bräuchte ich halt erstmal diese Karte, da weiß ich halt nur nicht, wie ich an sie gelange.
Könnte mir da jemand behilflich sein?
Hat jemand auch zufällig Literaturempfehlungen für die Themen: mehrdimensionale Integration, Transformationsregeln, Integration über Untermannigfaltigkeiten und dem Gaußschen Integrationssatz?

LG