Wie komme ich auf die wahre Varianz (sigma^2) im Zähler? Herleitung der Formel sigma/n^0,5?

Erste Frage Aufrufe: 90     Aktiv: 09.04.2025 um 22:59
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Ich bin mithilfe von Chatgbt auf folgenden Ausdruck gekommen: Durch die Eigenschaft der Varianz, dass sie linear ist (und die Varianz einer konstanten Zahl 

aa multipliziert mit einer Zufallsvariablen XX die Formel Var(aX)=a2Var(X)\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X) hat), ergibt sich:

Var(X‾)=1n2∑i=1nVar(Xi)\text{Var}(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(X_i)

Da die XiX_i alle die gleiche Varianz σ2\sigma^2 haben, gilt:

Var(X‾)=1n2⋅n⋅σ2=σ2n\text{Var}(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}Meine Frage: Wie kommt plötzlich die wahre Varianz sigma^2 in die Formel? Kann jemand diesen Schritt mal ausführlichst erklären? Einzelwerte haben doch keine Varianz? Liegt Chatgbt hier komplett daneben? Bin für jeden Input sehr dankbar

EDIT vom 08.04.2025 um 10:54:

Hier nochmal in lesbarer Form: Ich bin mithilfe von ChatGPT auf folgenden Ausdruck gekommen: Durch die Eigenschaft der Varianz, dass sie linear ist (und die Varianz einer konstanten Zahl \(a\) multipliziert mit einer Zufallsvariablen \(X\) die Formel \(\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)\) hat), ergibt sich:
 
\[\text{Var}(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \text{Var}(X_i)\]
 
Da die \(X_i\) alle die gleiche Varianz \(\sigma^2\) haben, gilt:
 
\[\text{Var}(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}\]
 
**Meine Frage:**
Wie kommt plötzlich die wahre Varianz \(\sigma^2\) in die Formel? Kann jemand diesen Schritt mal ausführlichst erklären? Einzelwerte haben doch keine Varianz? Liegt ChatGPT hier komplett daneben? Bin für jeden Input sehr dankbar.
 
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Student, Punkte: 10

 
Wenn Du Deine Frage lesbar gestaltest, kann man Dir sicher helfen.
Siehe https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf und dann "Frage bearbeiten".   ─   mikn 07.04.2025 um 17:40
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Das wird doch von ChatGPT erklärt: 

"Da die Xi alle die gleiche Varianz σ2 haben, gilt:"

Du summierst ja keine Einzelwerte auf, sondern die Varianzen von Zufallsvariablen \(X_i\). Diese haben anscheinend die Varianz \(\sigma^2\). Ohne konkrete Aufgabenstellung lässt sich das natürlich nur mutmaßen. 
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Selbstständig, Punkte: 30.62K

 
Ich möchte gerne die Herleitung der Formel $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ergründen. Dabei ist $\sigma^2$ die wahre Varianz (und $\sigma$ somit die Standardabweichung) einer Grundgesamtheit und $n$ die Stichprobengröße. Diese Formel beschreibt den Standardfehler des Mittelwerts. Kann mir jemand detailliert schildern, wie man diese Formel für den Standardfehler $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ herleitet?   ─   userd647f7 09.04.2025 um 09:35
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Standardfehler#Standardfehler_des_arithmetischen_Mittels

Das erfolgt bspw. auch über eine Schätzung.   ─   cauchy 09.04.2025 um 22:59

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