Lineare Unabhängigkeit Zusammenhang mit ZSF

Aufrufe: 390     Aktiv: 15.07.2022 um 08:36
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Hallo, ich habe folgende Vektoren gegeben:
$$ a=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}3 \\ 11 \\ -5 \\ 1\end{array}\right), c=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -5 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), d=\left(\begin{array}{c}4 \\ 6 \\ 2 \\ 10\end{array}\right) $$

Und möchte eine Basis vom $\langle a,b,c,d \rangle $ bestimmen. Dazu bringe ich die Matrix $$ \left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 11 & -5 & 6 \\ 2 & -5 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 1 & 10\end{array}\right) $$ in Zeilenstufenform:
$$ \left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & -1 & 4 \\ 0 & 11 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) $$

Was ich gerne wissen möchte ist, warum bildet jetzt $\langle a,b \rangle $ eine Basis, also warum genau sind $a,b$ jetzt linear unabhängig. Lese ich das an den "Sprungstellen" der ZSF ab, oder an ander Menge der Nicht-Nullzeilen?
Würde gerne den Zusammenhang einfach nachvollziehen.

LG
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2 Antworten
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Ich glaube du meinst das richtige Sprungstellen,  man sagt Pivotspalten. Du kannst es aber auch an den Nullzeilen ablesen. Schließlich korrespondieren die Nullzeilen gerade zu den Spalten ohne Pivotelementen
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Student, Punkte: 10.54K

 
D.h. wenn ich noch eine 3 Zeile mit einem Pivotelement hätte, wären entsprechend die Vektoren a,b,c linear unabhängig (natürlich für ein anderes c, geht hier nur im die Anschauung)?   ─   etefano 14.07.2022 um 20:45
Es kommt nicht nur auf die Anzahl der Pivot-Elementen an, sondern auch auf die Position (Anzahl = Dimension). Der Hinweis von mikn ist aber sehr gut, dass kann ich dir wirklich empfehlen   ─   mathejean 14.07.2022 um 21:24
Danke für den Hinweis mit dem Nachrechnen. Hat geholfen   ─   etefano 15.07.2022 um 08:36

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Dass $a$ und $b$ linear unabhängig sind, sieht man sofort daran, dass sie keine Vielfachen voneinander sind. Du kannst aber auch zwei andere Vektoren nehmen, die linear unabhängig sind, um eine Basis zu bekommen. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen liefert dir dann die Dimension des UVR und damit die Anzahl der Basisvektoren.
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