Hallo,
mit der Häufigkeitsverteilung kenne ich mich nicht wirlich aus, aber ich würde es mal aus der Stochastik übertragen. Ich denke, dass \( f\) bei euch für die relative Häufigkeit oder Wahrscheinlichkeit steht oder? Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt
$$ P(A|B) = \frac {P(A\cap B)} {P(B)} $$
Da die relative Häufigkeit gleich einer Wahrscheinlichkeit ist, sollte gelten
$$ f(a_i |b_j )= \frac {f(a_i , b_j)} {f(b_j)} $$
und analog
$$ f(b_j |a_i) = \frac {f(a_i , b_j)} {f(a_i)} $$
Wir berechnen also zuerst die relativen Häufigkeiten und können dann in die Formel einsetzen. \( f(a_i,b_j) \) ist dabei die relative Häufigkeit, dass \( a_i \) und \( b_j \) gleichzeitig gelten. Also beispielsweise
$$ f(a_1,b_2) = \frac 5 {30} = \frac 1 6 $$
Außerdem steht \( f(a_i )\) bzw. \( f(b_j)\) für die relative Häufigkeit des Merkmals \( a_i \) bzw \( b_j\).
Damit komme ich auf die angegebenen Lösungen.
Für die stochastische Unabhängigkeit muss
$$ P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B) $$
gelten. Wieder entspricht die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit. Wenn wir wissen wollen, ob die Merkmale unabhängig sind, dann müssen vermutlich alle \( a_i \) und \( b_j \) unabhängig sein. Deshalb wird hier einfach ein Gegenbeispiel gezeigt. Wir nehmen dafür \( a_2 \) und \( b_3 \). Damit muss, wenn die Merkmale unabhängig sind, folgendes gelten
$$ f(a_2) \cdot f(b_3) = f(a_2, b_3) $$
Daraus resultiert
$$ f(a_2) \cdot f(b_3) = \frac 2 5 \cdot \frac 2 {15} = \frac 4 {75} \neq \frac 1 {30} = f(a_2, b_3) $$
Wenn wir jetzt beide Seiten mit \( n=30 \) multiplizieren, erhalten wir
$$ 30 \cdot \frac 4 {75} = 1{,}6 $$
und
$$ 30 \cdot \frac 1 {30} = 1 $$
und das ist genau die Zeile in der Lösung. Ich denke also, das \( h \) für die absolute Häufigkeit steht. Um von der absoluten Häufigkeit auf die relative zu kommen, müssen wir ja
$$ \frac {h(x)} n = f(x) $$
Wenn wir also meine Gleichung
$$ f(a_2) \cdot f(b_3) = f(a_2, b_3) $$
durch \( n \) teilen, erhalten wir
$$ h(a_2) \cdot f(b_3) = h(a_2,b_3) \Rightarrow \frac {h(a_2) \cdot h(b_3)} n = h(a_2,b_3) $$
Ich hoffe das ist alles soweit verständlich. Wenn nicht, melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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Wir brauchen für die Bedingte relative Häufigkeit zwei Werte. Einmal die relative Häufigkeit, das beide Ereignisse eintretten und einmal die relative Häufigkeit, dass das Ereignis unter dessen Bedingung das andere Ereignis eintritt.
Also \( f(b_1 | a_2 ) \) bedeutet ja die relative Häufigkeit für das Ereigniss, dass \( b_1 \) eintritt, nachdem \( a_2 \) bereits eingetreten ist.
Wir suchen also die relative Häufigkeit, dass \( b_1 \) und \( a_2 \) gleichzeitig eintreten (\(f(a_2, b_1\), vielleicht noch als Anmerkung: \(f(a_2, b_1) = f(b_1 , a_2) \). Diese Häufigkeit können wir anhand der Tabelle ablesen. Es ist genau dort, wo sich diese beiden Ereignisse treffen.
Vorsicht: du hast bei dir die absolute Häufigkeit gegeben. Wir brauchen zuerst die relative Häufigkeit. Es mag sein, dass es auch eine Formel für die absolute Häufigkeit gibt, aber die kenne ich nicht und möchte da jetzt auch nicht zu sehr spekulieren.
Wie ist also die relative Häufigkeit dafür, dass \( a_2 \) und \( b_1 \) beide eintreten?
Da \( b_1 \) eintreten soll, nachdem \( a_2 \) bereits eingetreten ist, suchen wir noch die relative Häufigkeit für \( a_2 \), also \( f(a_2) \). Das sind alle Häufigkeiten, in denen \( a_2 \) vorkommt. Wo steht dieser Wert in deiner Tabelle (Hinweis, er steht in deiner ergänzten Tabelle aber noch nicht in der der Aufgabe).
Der Quotient dieser Werte ergibt dann \( \frac 12 = 0{,}5 = 50\% \). ─ christian_strack 18.12.2020 um 15:24
Ich danke dir für die Ergänzung. :) ─ christian_strack 18.12.2020 um 15:53
Die 1,6 und 6,4 sind auf jeden Fall deutlich nachvollziehbarer. Ich weiß nur nicht wie ich die Formel anwenden kann dass ich diese 50% und die 25% erreiche. ─ sann 18.12.2020 um 14:38