Impliziertes Ableiten

Aufrufe: 88     Aktiv: 03.06.2024 um 18:51

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Ich habe folgende Aufgabe:

Berechne die Ableitung dy/dx:
(x^2-y^2)/(x^2+y^2)=3

Lösung laut Lösungsblatt: y'=-x/2y
Ich habe jedoch y'=y/x raus. Dieses Ergebnis gibt auch die App "Photomath" aus. 

Was ist nun richtig? 
Freue mich über jede Antwort.
Mfg

EDIT vom 03.06.2024 um 17:17:



So lautet mein Rechenweg. Dabei habe ich mich an ein YouTube Video orientiert "Impliziertes Ableiten (easy Trick)".
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Ich komme auch auf y'=-x/(2y). Lade mal Deine Rechnung hoch (oben "Frage bearbeiten"). Es heißt übrigens "implizites Differenzieren". Die Verwendung falscher Begriffe impliziert z.B., dass man bei der Internetsuche keine passenden Treffer findet.   ─   mikn 03.06.2024 um 12:10

Ja, ich habe meine Rechnung hinzugefügt und danke für den Hinweis!   ─   math27 03.06.2024 um 17:19

Bitte mal den Link zu "Impliziertes Ableiten (easy Trick)" - möchte sehen, dass das Video wirklich diesen Titel hat. Und wenn das oben der "easy Trick" ist, dann spricht das nicht für das Video. Gleich mehr dazu.   ─   mikn 03.06.2024 um 17:43

Ja, sehr gerne. Hier ist der Link: https://youtu.be/N-1vqw3Sl7I?si=qtSNjOH03AhRtsAx   ─   math27 03.06.2024 um 17:48

Ok, beim Video steht schonmal "implizites Ableiten" (hast den Hinweis noch nicht verinnerlicht). Aber nach dem ersten Satz "...in der Klausur super viel Zeit sparen..." ist das für mich schon uninteressant.   ─   mikn 03.06.2024 um 17:56
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Beide Lösungen sind richtig. Anstelle Formeln auswendig zu lernen, ist es einfacher zu verstehen, was hier gefragt ist - und vor allem erheblich schneller und sicherer.
Es geht um die Gleichung $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=3$. Also in dieser Situation um:
$\frac{x^2-(y(x))^2}{x^2+(y(x))^2}=3$. Prinzip: Diese Gleichung (keine Funktion!) leitet man nach \(x\) ab und stellt dann nach \(y'(x)\) um. Das geht, wie bei Gleichungen üblich, am einfachsten, indem man mit dem Nenner erstmal multipliziert und zusammenfasst. Dann steht da nämlich $2y^2+x^2=0$. Jetzt erst(!) leitet man ab und stellt dann um (und das ist wirklich easy). Und an dieser Gleichung siehst Du auch, warum beide Ergebnisse richtig sind. Probier das mal aus.
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Also sind beide Ergebnisse y’= y/x als auch y‘=-x/(2y) richtig. Sie empfehlen jedoch nicht die Schreibweise, wie ich sie gemacht habe, welche jedoch nicht falsch ist. Habe ich das so richtig verstanden?   ─   math27 03.06.2024 um 18:17

Ja. Und warum ich das tue, siehst Du, wenn Du meinem Vorgehen oben folgst. Wenn Du beide Wege gerechnet hast (den einen hast Du ja schon), dann lege sie nebeneinander und sag selbst, welcher in der Klausur günstiger ist. Mach und berichte.   ─   mikn 03.06.2024 um 18:21

Okay, alles klar vielen lieben Dank! Habe eben auch den anderen Weg ausprobiert und dieser ist tatsächlich deutlich einfach und geht auch schneller. Habe nur noch nicht richtig verstanden, warum es hier 2 Lösungen gibt. Wie lässt sich das erklären?   ─   math27 03.06.2024 um 18:28

Es gibt nur eine Lösung, die aber in zwei Versionen geschrieben ist. Nutze die Gleichung $2y^2+x^2=0$ (das ist ja nur die vereinfachte Ausgangsgleichung) um die eine Lösung in die andere umzuschreiben.
Ich bin kein Freund von Formellösungen wie $y'=-f_x/f_y$, und auch nicht von Aussagen, die suggerieren, dass in der Vorlesung bewusst irgendwelche Tricks verschwiegen werden. Das ist nicht so. Jeder Dozent ist interessiert, die einfachsten und sichersten Methoden zu lehren (schon weil er es dann bei der Klausurkorrektur leichter hat).
  ─   mikn 03.06.2024 um 18:36

Achso okay. Ich bedanke mich für Ihre Hilfe und Ihre Geduld.   ─   math27 03.06.2024 um 18:44

Gern geschehen.   ─   mikn 03.06.2024 um 18:51

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