Erklärung. Will gucken, ob ich es richtig verstanden habe.

Aufrufe: 879     Aktiv: 08.01.2020 um 10:25

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Wie kann man sich das mit n(sagen mir mal 3)-Dimensionen vorstellen). Da steht „dass nun ein n-dimensionaler Vektro als Input dient“. Damit meinen sie, dass man nicht nur x als Variable hat, sondern z.B. a,b hat.

Der Funktionswert f(x) wäre dann z.B. z. Und x ist hier nicht die Variable, sondern der Vektor a,b richtig?

Dann steht da am Ende „wenn x dem Vektor x0 annähert. Wie nähert man denn sich einen Vektor an? Bei zwei dimensionalen nimmt man einfach den Wert der unmittelbar daneben liegt. Und im dreidimensionalen Raum zum Beispiel? Wählt man dann beide Werte also a und b, unmittelbar nah an a0 und b0?

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Hallo,

ja das verstehst du im Großen und Ganzen richtig. Das mit dem Input meint, das wir beispielsweise eine Funktion \( f(x_1, x_2 , \ldots , x_n) \) haben oder \( f(\textbf{x}) \). Wenn ein Buchstabe fett gedruckt wird, steht das meistens für einen Vektor.

$$ \textbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

Wenn wir nun einen Vektor \( \textbf{x_0} \) nehmen und \( \textbf{x} \) an \( \textbf{x_0} \) annähern, bedeutet das, dass jede Komponente (Koordinate) von \( \textbf{x} \) an die selbe Koordinate von \( \textbf{x_0} \) angenähert wird. Wir können also die Grenzwertbetrachtung Komponentenweise durchführen. 

Grüße Christian

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Hallo,

danke für die Antwort.

Aber wie kann man sich das graphisch vorstellen?

Wenn zum Beispiel der Raum ein dreidimensionales Koordinatensystem ist und der Ursprung in der Ecke des Raums liegt. Und ich will wich an einen Punkt annähern, der im Zentrum des Raums liegt, also sagen wir mal der Punkt 2,3 bei der Funktion z= x^2+y^2

Wie nähere ich ihn an? Von welcher Seite bzw. Variable zuerst?
Im zweidimensionalen Raum ist das ja einfach. Für einen Grenzwert bei x=2, gucke ich wie der Funktionswert bei z.B. 1.99999999999999999 ist?
Im dreidimensionalen Raum kann ich mir das aber irengdwie nicht so gut vorstellen.
  ─   itsmeagain 07.01.2020 um 21:25

Es ist eigentlich genau das selbe, nur das jede Komponente eines Vektors analog zum 2D Fall angenähert wird.
Also
$$ \lim\limits_{\textbf{x} \to \textbf{x}_0} x^2 + y^2 = \lim\limits_{ x \to 2 ,\ y \to 3 } $$
Wir haben jetzt 4 Möglichkeiten uns an diesen Grenzwert anzunähern. Beide Werte werden von unten angenähert, beide von oben, oder jeweils einer von oben und einer von unten.
Das sind die Äquivalenten zu dem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerten. Die haben wir ja auch in 2D. Der Grenwert selbst existiert nur, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existiert und übereinstimmt.
Wirklich Probleme gibt es erst, wenn wir beispielsweise die Funktion
$$ z= \frac 1 {x^2} \cdot \frac 1 {y^2} $$
hätten und uns an
$$ \textbf{x}_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
annähern wollen, da wir hier zwei unbestimmte Ausdrücke haben
$$ \lim\limits_{\textbf{x} \to \textbf{x}_0} z = \infty \cdot \infty $$
Sowas wie den mehrdimensionalen l'Hospital gibt es meines Wissens nach nicht. Deshalb wird im mehrdimensionalen meistens eher mit Folgen gearbeitet.
Wollen wir die Null von unten annähern, können wir beispielsweise die Folge \( x_n = -\frac 1n \) nehmen und von oben \( x_n = \frac 1 n \) (analoges für \( y_n \)). Dies könnten wir einsetzen in unsere Funktion
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 {( \pm \frac 1 n)^2} \cdot \frac 1 {( \pm \frac 1 n)^2} = \lim\limits_{n \to \infty} n^2 \cdot n^2 = \lim\limits_{n \to \infty} n^4 \to \infty $$
  ─   christian_strack 08.01.2020 um 10:22

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