Vektorfeld Rotation = 0

Aufrufe: 990     Aktiv: 09.11.2020 um 13:04

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Hallo zusammen

 

Übersetzt: Ist Fi-Feld ableitbar zu einem Potential auf R2? Wenn ja, finden Sie ein Potenzial, aus dem Fi, wenn nicht, finden Sie einen geschlossenen Weg.

Vektorfeld: R^2 -> R^2

Folgendermassen habe ich dies gelöst:

Folgende Dinge sind mir nicht ganz klar und zwar:

1. rot = 0 wie in diesem Fall, muss ich schauen, ob es konvex ist oder nicht? Wenn ja, wie und Wenn nein warum?

2. Jede Komponente muss ich wie unten einzeln ableiten und was sagt dies aus?

Wenn ich nun die Lösung vergleiche, warum gibt es bei f'/y' = x^3 -> f(x,y) = x^3y + h(x)? Warum ein y multiplizieren und + h(x)?

aber warum muss ich nun folgendermassen schreiben? 3x^2y + h'(x)? Warum muss ich nach h ableiten und dann integrieren?

 

Verstehe ich nicht :( Kennt ihr gute Videos, welches dies genau aufzeigt?

 

Schöne Grüsse

Sayuri

 

 

 

 

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Student, Punkte: 205

 

Sorry, habs nun hinzugefügt.   ─   sayuri 09.11.2020 um 08:42
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Auch hier: einfach mal selbst probieren.

Wir suchen ein Potenzial \(u\) zu \(F\) (Def-Bereich ist konvex, "Rotation=0" ist erfüllt, also gibt es eines). Nun bitte selbst denken: Potenzial heißt so was wie Stammfunktion, es muss also \(\nabla u (x,y)=F(x,y)\) gelten, also

\(\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=3\,x^2\,y+2\,x,\quad \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=x^3\).

Wir kennen also die partiellen Ableitungen von \(u\). Wenn wir die zweite Bedingung nach \(y\) integrieren, erhalten wir \(u\): \(u(x,y)=x^3\,y +C\). Die Integrationskonstante \(C\) kann aber von \(x\) abhängen, denn beim Ableiten nach \(y\) würde das ja auch wegfallen. Also wissen wir schon: \(u(x,y)=x^3\,y+h(x)\). Mit einer unbekannten Funktion \(h\). Um \(h\) zu bestimmen setzen wir in die erste Gleichung ein.

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Vielen Dank für deine Antwort mikn. Dann versuche ich es nochmals und komme wieder falls Bedarf wieder auf dich zu.   ─   sayuri 09.11.2020 um 12:40

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.