Die Aussagen stimmen alle nicht. Man kann für alle Gegenbeispiele finden. Eins hat dir karate schon gezeigt. Die anderen kann man da sehr ähnlich angehen. Ich nehme bei solchen Aufgaben auch immer gerne die Funktion $f(x) = x^2$. An ihr kann man anschaulich sich klar machen, wie die "gleiche" Abbildung durch Änderung des Definitions- und Wertebereis injektiv, surjektiv oder keins von beiden sein kann. Und mit diesen Änderungen lassen sich gut und schnell Abbildungen finden, mit denen man Gegenbeispiele konstruieren kann. Die Funktion $f(x) = x$ bietet sich ebenfalls als ein Kandidat an für so eine Aufgabe. Diese ist sehr sinnvoll, weil mit $f(x)=x$ und einer bel. anderen Funktion $g(x)$ gilt $(g\circ f)(x) = (f\circ g)(x) = ?$. 

Bevor ich aber falsche Erwartungen schüre, hier ist die Kombination aus $x^2$ und $x$ nicht immer sinnvoll. 

Im Allgemeinen ist es aber sinnvoll, sich sehr einfacher Abbildungen zu bedienen. So muss man nicht kompliziert rumrechnen und hat sehr schnell die Komposition von zwei Abbildungen.

 

Als kleine Nebenaufgabe. Wie ist $A$ und $B$ zu wählen, damit $f: A \to B, \quad f(x) = x^2$ injektiv wird. Wie sind $A$ und $B$ zu wählen, damit die Funktion surjektiv ist? Welche der Eigenschaften hat die Funktion, wenn $A=B= \mathbb R$ ist?

Grüße Christian