Injektive und Surjektive Abbildungen

Erste Frage Aufrufe: 77     Aktiv: 08.11.2021 um 13:29

0
Ich habe eine Aufgabe bekommen und weß nicht wie ich es Beweisen kann:
Seien f: X-->Y und g: Y-->Z Abbildungen.

1. g injektiv => g°f injektiv
2. f surjektiv => g°f surjektiv
3. g°f surjektiv => f surjektiv
4. g°f injektiv =>g injektiv

Danke. :)
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 

Hallo, also ich habe mir nur kurz die erste Aufgabe angeschaut und glaube dass da etwas nicht stimmen kann. Nehmen wir die Funktionen $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=x^2$, diese Funktion ist klar nicht injektiv, was ja sein kann, da du für f keine Bedingung hast. Dann nehmen wir $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ mit $g(x)=x$ diese Funktion ist bijektiv also auch klar injektiv. Nun betrachten wir $g\circ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ mit $g(f(x))=g(x^2)=x^2$, wie schon gesagt ist aber diese Funktion nicht injektiv, also kann meiner Meinung nach nur schon deine erste Aufgabe nicht stimmen. Aber vielleicht übersehe ich da was.   ─   karate 07.11.2021 um 20:00
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Hallo,

Die Aussagen stimmen alle nicht. Man kann für alle Gegenbeispiele finden. Eins hat dir karate schon gezeigt. Die anderen kann man da sehr ähnlich angehen. Ich nehme bei solchen Aufgaben auch immer gerne die Funktion $f(x) = x^2$. An ihr kann man anschaulich sich klar machen, wie die "gleiche" Abbildung durch Änderung des Definitions- und Wertebereis injektiv, surjektiv oder keins von beiden sein kann. Und mit diesen Änderungen lassen sich gut und schnell Abbildungen finden, mit denen man Gegenbeispiele konstruieren kann. Die Funktion $f(x) = x$ bietet sich ebenfalls als ein Kandidat an für so eine Aufgabe. Diese ist sehr sinnvoll, weil mit $f(x)=x$ und einer bel. anderen Funktion $g(x)$ gilt $(g\circ f)(x) = (f\circ g)(x) = ?$. 
Bevor ich aber falsche Erwartungen schüre, hier ist die Kombination aus $x^2$ und $x$ nicht immer sinnvoll. 
Im Allgemeinen ist es aber sinnvoll, sich sehr einfacher Abbildungen zu bedienen. So muss man nicht kompliziert rumrechnen und hat sehr schnell die Komposition von zwei Abbildungen.
 
Als kleine Nebenaufgabe. Wie ist $A$ und $B$ zu wählen, damit $f: A \to B, \quad f(x) = x^2$ injektiv wird. Wie sind $A$ und $B$ zu wählen, damit die Funktion surjektiv ist? Welche der Eigenschaften hat die Funktion, wenn $A=B= \mathbb R$ ist?

Grüße Christian
Diese Antwort melden
geantwortet

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.28K

 

Kommentar schreiben