Komplexer Logarithmus

Erste Frage Aufrufe: 341     Aktiv: 10.03.2023 um 22:56

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Wie löse ich diese Aufgabe?
Mir fehlt der entscheidende Schritt nach der Umformung der ersten Gleichung:
ln(z) + ln(t) = ...
Muss man ln(z) = ln(|z|) + iarg(z) + 2πik so zerlegen und mit entsprechend ln(t) = ... berechnen? Was ist dann arg(z) = phi?
Oder muss man mit der e-Funktion den ln auflösen? 
exp(ln(z)) = z + 2πik
Allerdings lässt sich so die Differenz der beiden Ergebnisse nicht mehr gut berechen.
Ich weiß, dass ln(zt) - ln(z) - ln(t) = 2πik ergeben soll, finde aber den Weg nicht dorthin.
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1 Antwort
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Das ist wirklich eine merkwürdige Aufgabe. Dass die Def. des komplexen $\ln$ zunächst(!) nicht eindeutig ist wg $+2\pi k$, diskutiert man normalerweise direkt bei der Def. und betrachtet die $\exp$-Funktion.
Wenn man den Hauptwert des $\ln$ als Def. nimmt (die ist dann eindeutig), dann ist die Differenz der beiden Ausdrücke 0 (was auch angenehm ist).
Wenn man die Def. $\ln .. =.... +2\pi k$ zugrunde legt, ist die Differenz $2\pi k$, so ist das wohl gedacht. Aber erstens ist das keine eindeutige Def. und zweitens würde man dann konsequenterweise bei jedem der drei auftretenden $\ln$ ein anderes $k$ nehmen (also $k,l,m$ und dann ist die Differenz nicht mehr $+2\pi k$.
${\rm arg} z$ ist immer der Winkel von $z$ in der eindeutigen Polardarstellung (Skizze und ablesen).
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Alles klar. Vielen Dank, ich habe meinen Fehler jetzt gefunden und die Gleichung ergibt 0.
Allerdings stimmt dann wohl phi=arctan(Im/Re) nicht bzw. habe ich gemerkt, dass der Taschenrechner nicht unterscheiden kann, ob der obere oder untere Wert negativ ist, aber für Im=0 oder Re=0 ergibt die Formel kein Ergebnis (bzw. 0) im Taschenrechner.
Warum wird dies dann angegeben, wenn es für Re=0 gar nicht definiert ist?
  ─   userbd79c6 25.02.2023 um 18:46

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