Negatives Ergebnis bei geraden Wurzeln

Aufrufe: 250     Aktiv: 14.10.2023 um 09:22

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Hallo, kann mir einer beweisen und erklären warum die 4. Wurzel aus (x+1) =3 nach X auflösbar ist aber nicht wenn das Ergebnis-3 wäre?
Ich habe gelernt, dass ja bei einer Wurzel immer zwei Lösungen rauskommen also z.B. ist die Wurzel von 4 = +2 & -2.
 Warum lässt sich das nicht auch darauf anwenden?
LG
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Die Wurzel aus 4 ist 2, nicht -2.
Die Wurzel ist definiert für nichtnegative Zahlen a als die nichtnegative Lösung x der Gleichung \(x^2=a\),
Da gibt es immer nur eine nichtnegative Lösung x. Die Wurzel ist also immer eindeutig.

Das Gleiche gilt auch für die vierten Wurzeln;
Die vierte Wurzel ist definiert für nichtnegative Zahlen a als die nichtnegative Lösung x der Gleichung \(x^4=a\),
Da gibt es immer nur eine nichtnegative Lösung x. Die vierte Wurzel ist also immer eindeutig.

Die Wurzel als auch die vierte Wurzel ist nicht definiert für negative Zahlen.
  ─   m.simon.539 07.10.2023 um 14:34

Okay vielen Dank.
Aber die 3. Wurzel aus (x-1) ergibt dann wiederum eine negative Zahl.
Weil (-3)×(-3)×(-3)= -27 ergibt.
Also verstehe ich richtig, dass bei geraden Wurzeln das Ergebnis immer nur positiv oder 0 ist.
Demnach bei ungeraden Wurzeln positiv und negativ und 0 sein kann?
  ─   user0aad0a 07.10.2023 um 15:12

Ja, bei ungeraden Wurzeln kann das Ergebnis 0, negativ oder positiv sein, z.B. \(\sqrt[3]{-27}=-3\).

Wie lautet eigentlich Deine Gleichung:
1. \(\sqrt[4]{x-1}=3\)
2. oder \((x-1)^4=3\) ?
Um die erste Gleichung zu lösen, musst Du keine vierte Wurzel ziehen, nur bei der zweiten!

  ─   m.simon.539 07.10.2023 um 16:27

Die erste   ─   user0aad0a 07.10.2023 um 16:47

Ok, die erste Gleichung kann man wie folgt auflösen, ohne jemals eine vierte Wurzel zu ziehen:

\(\sqrt[4]{x-1}=3 \;\;|\;\; \cdot^4\).
\(x-1=81 \;\;|\;\; +1\)
\(x=82\)

Und wenn man in der ersten Gleichung "3" durch "-3" ersetzt, geht es leider nicht, da vierte Wurzeln nie negativ sind.
Man kann leider nicht rechnen:
\(\sqrt[4]{x-1}=-3 \;\;|\;\; \cdot^4\).
\(x-1=81 \;\;|\;\; +1\)
\(x=82\)
denn die "hoch 4" ist leider keine Äquivalenzumformung

  ─   m.simon.539 07.10.2023 um 22:45

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Das mit dem Ersetzen von 3 durch -3 stimmt eben gerade nicht. Dadurch wird die Gleichung unlösbar. Das hat der Frager oben schon richtig verstanden und sollte sich hier nicht verwirren lassen. PS: und x-1=81, nicht 80.   ─   mikn 07.10.2023 um 23:17
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So, das ganze nochmal in Schönschrift!

Die Lösung von \(\sqrt[4]{x+1}=3\) lässt sich wie folgt berechnen:
\(\sqrt[4]{x+1}=3 \;|\; \cdot^4\)
\(x+1=81 \;|\; -1\)
\(x=80\)
Nun hat man aber noch eine Fleißarbeit zu erledigen, denn "hoch 4" ist keine Äquivalenzrelation.
Bis jetzt hat man nur gezeigt: Wenn \(\sqrt[4]{x+1}=3\), dann ist x=80.
Es fehlt noch die Umkehrung: Wenn x=80, dann ist \(\sqrt[4]{x+1}=3\).
Man muss also \(x=80\) in die Gleichung einsetzten und prüfen, ob die Gleichung stimmt, also: Ist \(\sqrt[4]{80+1}=3\)? Ja, stimmt!
Also ist \(x=80\) einzige Lösung der Gleichung.

"\(\sqrt[4]{x+1}=-3\)"  hingegen hat keine Lösung, denn vierte Wurzeln können nicht negativ sein.
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Okay Danke. Soweit verstehe ich es nun, warum wird dann trotzdem bei anderen Rechnungen wie z.B. beim rechnen mit der PQFormel beigebracht das immer ein positives und ein negatives Ergebnis rauskommen? Ist ja dann ein Widerspruch zu dem was ihr gesagt habt, dass Wurzeln nicht negativ sein können   ─   user0aad0a 14.10.2023 um 07:29

Wurzeln (zweite, vierte, usw.) sind nie negativ, Lösungen von quadratischen Gleichungen aber manchmal schon. Mach dir den Unterschied zwischen einer Wurzel und der Lösung einer Gleichung klar und formuliere genau und vollständig (also nicht mit "kommt immer raus" und so).   ─   mikn 14.10.2023 um 09:22

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