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So, das ganze nochmal in Schönschrift!
Die Lösung von \(\sqrt[4]{x+1}=3\) lässt sich wie folgt berechnen:
\(\sqrt[4]{x+1}=3 \;|\; \cdot^4\)
\(x+1=81 \;|\; -1\)
\(x=80\)
Nun hat man aber noch eine Fleißarbeit zu erledigen, denn "hoch 4" ist keine Äquivalenzrelation.
Bis jetzt hat man nur gezeigt: Wenn \(\sqrt[4]{x+1}=3\), dann ist x=80.
Es fehlt noch die Umkehrung: Wenn x=80, dann ist \(\sqrt[4]{x+1}=3\).
Man muss also \(x=80\) in die Gleichung einsetzten und prüfen, ob die Gleichung stimmt, also: Ist \(\sqrt[4]{80+1}=3\)? Ja, stimmt!
Also ist \(x=80\) einzige Lösung der Gleichung.
"\(\sqrt[4]{x+1}=-3\)" hingegen hat keine Lösung, denn vierte Wurzeln können nicht negativ sein.
Die Lösung von \(\sqrt[4]{x+1}=3\) lässt sich wie folgt berechnen:
\(\sqrt[4]{x+1}=3 \;|\; \cdot^4\)
\(x+1=81 \;|\; -1\)
\(x=80\)
Nun hat man aber noch eine Fleißarbeit zu erledigen, denn "hoch 4" ist keine Äquivalenzrelation.
Bis jetzt hat man nur gezeigt: Wenn \(\sqrt[4]{x+1}=3\), dann ist x=80.
Es fehlt noch die Umkehrung: Wenn x=80, dann ist \(\sqrt[4]{x+1}=3\).
Man muss also \(x=80\) in die Gleichung einsetzten und prüfen, ob die Gleichung stimmt, also: Ist \(\sqrt[4]{80+1}=3\)? Ja, stimmt!
Also ist \(x=80\) einzige Lösung der Gleichung.
"\(\sqrt[4]{x+1}=-3\)" hingegen hat keine Lösung, denn vierte Wurzeln können nicht negativ sein.
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m.simon.539
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Okay Danke. Soweit verstehe ich es nun, warum wird dann trotzdem bei anderen Rechnungen wie z.B. beim rechnen mit der PQFormel beigebracht das immer ein positives und ein negatives Ergebnis rauskommen? Ist ja dann ein Widerspruch zu dem was ihr gesagt habt, dass Wurzeln nicht negativ sein können
─
user0aad0a
14.10.2023 um 07:29
Wurzeln (zweite, vierte, usw.) sind nie negativ, Lösungen von quadratischen Gleichungen aber manchmal schon. Mach dir den Unterschied zwischen einer Wurzel und der Lösung einer Gleichung klar und formuliere genau und vollständig (also nicht mit "kommt immer raus" und so).
─
mikn
14.10.2023 um 09:22
Die Wurzel ist definiert für nichtnegative Zahlen a als die nichtnegative Lösung x der Gleichung \(x^2=a\),
Da gibt es immer nur eine nichtnegative Lösung x. Die Wurzel ist also immer eindeutig.
Das Gleiche gilt auch für die vierten Wurzeln;
Die vierte Wurzel ist definiert für nichtnegative Zahlen a als die nichtnegative Lösung x der Gleichung \(x^4=a\),
Da gibt es immer nur eine nichtnegative Lösung x. Die vierte Wurzel ist also immer eindeutig.
Die Wurzel als auch die vierte Wurzel ist nicht definiert für negative Zahlen.
─ m.simon.539 07.10.2023 um 14:34