Ganz am Anfang muss die Vereinigung stehen, nicht der Durchschnitt. Deine dritten und vierten Gleichungen stimmen nicht, es sollte jeweils \(P(1,\dots,n)^*\) heißen (ich vermute, der Stern bedeutet ausschluss der leeren Menge). Außerdem muss Deine allerletzte Menge \(A_{n+1}\) statt \(A_{\ell+1}\) sein. Dann fasst Du im nächsten Schritt die beiden letzten Terme so zusammen: \begin{multline*}\#A_{n+1}-\sum_{L\in \mathcal{P}(1,\dots,n)^*}(-1)^{\#L-1}\cdot\#\left(\bigcap_{\ell\in L}(A_\ell\cap A_{n+1})\right)\\ \begin{aligned}&=-\sum_{L\in \mathcal{P}(1,\dots,n)}(-1)^{\#L-1}\cdot\#\left(\bigcap_{\ell\in L}(A_\ell\cap A_{n+1})\right)\\&=\sum_{L\in \mathcal{P}(1,\dots,n)}(-1)^{\#L}\cdot\#\left(\bigcap_{\ell\in L\cup\{n+1\}}A_\ell\right).\end{aligned}\end{multline*} Man definiert dabei \[\bigcap_{\ell\in \varnothing}(A_\ell\cap A_{n+1}):=A_{n+1}.\] Jetzt kannst Du die Terme nach Deinem letzten Gleichheitszeichen wie gewünscht zusammenfassen.