Hallo,

Betrachte bitte das folgende Addirionstheorem:

cos(a+b) = cos(a)•cos(b) - sin(a)•sin(b)

für den speziellen Fall, wo a = b= alpha / 2

dann bekommst du

cos(2a) = cos^2 (a) - sin^2 (a)

cos(alpha) = cos^2(alpha/2) - sin^2(alpha/2)

Du weißt schon, dass:

cos^2 (alpha/2) + sin^2 (alpha/2) = 1

Also der Rest ist klar, oder?

Gruß 

Elayachi Ghellam 

Elayachi hat es doch eigentlich vollständig erklärt, deswegen kann ich das nur noch mal untersreichen:

Das zu benutzende Additionstheorem ist

\(\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\)

Im Cosinus steht bei dir \(\alpha\), das heißt es gilt \(a+b=\alpha\) und damit \(a=b=\dfrac{\alpha}{2}\)

Eingesetzt ins Additionstheorem:

\(\cos(\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac{\alpha}{2})=\cos(\dfrac{\alpha}{2})\cos(\dfrac{\alpha}{2})-\sin(\dfrac{\alpha}{2})\sin(\dfrac{\alpha}{2})\)

ergibt

\(\cos(\alpha)=\cos^2(\dfrac{\alpha}{2})-\sin^2(\dfrac{\alpha}{2})\)

Außerdem ist bekannt:

\(\sin^2(\dfrac{\alpha}{2})+\cos^2(\dfrac{\alpha}{2})=1\)

Das kann man sich mit Pythagoras am Einheitskreis herleiten.

Jetzt einsetzen in deine Formel:

\(1-\cos(\alpha)=\sin^2(\dfrac{\alpha}{2})+\cos^2(\dfrac{\alpha}{2})-(\cos^2(\dfrac{\alpha}{2})-\sin^2(\dfrac{\alpha}{2}))\)

Jetzt noch zusammenfassen:

\(1-\cos(\alpha)=\sin^2(\dfrac{\alpha}{2})+\cos^2(\dfrac{\alpha}{2})-\cos^2(\dfrac{\alpha}{2})+\sin^2(\dfrac{\alpha}{2}))\)

\(1-\cos(\alpha)=2\sin^2(\dfrac{\alpha}{2})\)