Wie ich sehe, hast du schon den Induktionsanfang geschafft und der Induktionsschritt bereitet dir Probleme. Ich skizziere dir hier mal einfach das Vorgehen, wichtig ist nur, dass du es einmal richtig verstehst, da du bei derartigen Beweisen immer nach dem selben Muster vorgehn musst. $$\sum_{i=1}^{n+1}(2i-1)=\sum_{i=1}^n(2i-1)+2(n+1)-1=n^2+2n+1=(n+1)^2$$ Im dritten schritt habe ich die Induktionsvorraussetzung eingesetzt und im letzten habe ich die binomische Formel angewendet.

Noch eine kleine Anmerkung zum allgemeinen Vorgehen beim Induktionsschritt: Hier musst du immer die Gleichung so umformen, dass du die Induktionsvorraussetzung einsetzen kannst; das geht bei Summen und Produkten immer gleich