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Hallo
Also zu deiner ersten Frage. Du kannst da eigentlich ganz normal die Rechenregeln verwenden die du kennst um Brüche umzuformen, dabei kannst du den Limes "ignorieren" sprich so:
$\frac{1}{{(\frac{n}{n-1})}^n}=\frac{1}{\frac{n^n}{(n-1)^n}}=\frac{(n-1)^n}{n^n}={(\frac{n-1}{n})}^n={(1-\frac{1}{n})}^n$.
Dann hast du die gewünschte Gleichung, nur einfach von der anderen Seite her, aber das spielt ja keine Rolle, also kannst du das wählen was für dich verständlicher ist. Nun noch zum Limes. Ich musste in meinem Studium auch lernen, dass man den Limes nicht immer mitschreibt, da man zu Beginn teilweise noch gar nicht weiss ob meine Folge/Aussage konvergiert. Daher würde deine Aufgabe dann so aussehen:
$${(1-\frac{1}{n})}^n={(\frac{n-1}{n})}^n=\frac{(n-1)^n}{n^n}=\frac{1}{\frac{n^n}{(n-1)^n}}=\frac{1}{{(\frac{n}{n-1})}^n}\stackrel{n\rightarrow \infty }{\to}...$$
Ich weis das ist gewöhnungsbedürftig, ist auch nur ein Hinweis, den du versuchen kannst umzusetzen (es spart dich auch ein wenig Schreibarbeit;))
So nun zu deinem zweiten Problem:
$${(1-\frac{1}{n})}^n=\frac{1}{{(\frac{n}{n-1})}^n}\stackrel{*}{=}\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}\cdot (1+\frac{1}{n-1})}=\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}\cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}$$
Nun bemerken wir zwei Dinge
Aus Punkt 1. folgt nun dass $$\frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}\stackrel{n\rightarrow \infty}{\to}\frac{1}{1}=1$$ und Punkt 2 impliziert dass $$\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}\stackrel{n\rightarrow \infty}{\to}\frac{1}{e}$$
Daraus können wir schliessen dass $${(1-\frac{1}{n})}^n=\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}\cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}\stackrel{n\rightarrow \infty}{\to}\frac{1}{e}\cdot 1=\frac{1}{e}$$
Nun noch kurz zu *. Diese Umformung musst du halt wirklich sehen, sonst kommst du nicht weit.
Ich hoffe das hilft.
Also zu deiner ersten Frage. Du kannst da eigentlich ganz normal die Rechenregeln verwenden die du kennst um Brüche umzuformen, dabei kannst du den Limes "ignorieren" sprich so:
$\frac{1}{{(\frac{n}{n-1})}^n}=\frac{1}{\frac{n^n}{(n-1)^n}}=\frac{(n-1)^n}{n^n}={(\frac{n-1}{n})}^n={(1-\frac{1}{n})}^n$.
Dann hast du die gewünschte Gleichung, nur einfach von der anderen Seite her, aber das spielt ja keine Rolle, also kannst du das wählen was für dich verständlicher ist. Nun noch zum Limes. Ich musste in meinem Studium auch lernen, dass man den Limes nicht immer mitschreibt, da man zu Beginn teilweise noch gar nicht weiss ob meine Folge/Aussage konvergiert. Daher würde deine Aufgabe dann so aussehen:
$${(1-\frac{1}{n})}^n={(\frac{n-1}{n})}^n=\frac{(n-1)^n}{n^n}=\frac{1}{\frac{n^n}{(n-1)^n}}=\frac{1}{{(\frac{n}{n-1})}^n}\stackrel{n\rightarrow \infty }{\to}...$$
Ich weis das ist gewöhnungsbedürftig, ist auch nur ein Hinweis, den du versuchen kannst umzusetzen (es spart dich auch ein wenig Schreibarbeit;))
So nun zu deinem zweiten Problem:
$${(1-\frac{1}{n})}^n=\frac{1}{{(\frac{n}{n-1})}^n}\stackrel{*}{=}\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}\cdot (1+\frac{1}{n-1})}=\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}\cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}$$
Nun bemerken wir zwei Dinge
- $\frac{1}{n-1}\stackrel{n\rightarrow \infty}{\to}0$
- $lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}=lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$ Das solltet ihr in der Vorlesung gehabt haben.
Aus Punkt 1. folgt nun dass $$\frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}\stackrel{n\rightarrow \infty}{\to}\frac{1}{1}=1$$ und Punkt 2 impliziert dass $$\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}\stackrel{n\rightarrow \infty}{\to}\frac{1}{e}$$
Daraus können wir schliessen dass $${(1-\frac{1}{n})}^n=\frac{1}{{(1+\frac{1}{n-1})}^{n-1}}\cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})}\stackrel{n\rightarrow \infty}{\to}\frac{1}{e}\cdot 1=\frac{1}{e}$$
Nun noch kurz zu *. Diese Umformung musst du halt wirklich sehen, sonst kommst du nicht weit.
Ich hoffe das hilft.
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karate
Student, Punkte: 1.95K
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In Bemerkung 2) muss es einmal n statt n-1 im Nenner sein
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mathejean
16.10.2021 um 12:20
oh ja, da hat sich ein copy-paste Fehler eingeschlichen! vielen Dank wird korrigiert.
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karate
16.10.2021 um 12:21
@cauchy, nein der Exponent ist bewusst so gewählt, da man ja sonst nicht auf die "Definition" von der Eulerschen Zahl kommt, spielt ja keine Rolle ob da -1 steht oder nicht, da wir ja n bis unendlich laufen lassen. Also ausser ich habe das und somit die Definition falsch in Erinnerung.
Von mir aus kann ich ja da auch $n'=n-1$ wählen und dann n' nach unendlich laufen lassen, aber dann gibt es nur noch ein grösseres Durcheinander. ─ karate 16.10.2021 um 12:23
Von mir aus kann ich ja da auch $n'=n-1$ wählen und dann n' nach unendlich laufen lassen, aber dann gibt es nur noch ein grösseres Durcheinander. ─ karate 16.10.2021 um 12:23
