Der Fehler im letzten Bild ist, dass du im Zähler durch $n^4$ teilst und im Nenner durch $n^3$. Das, was da rauskommt, ist dann nicht mehr dasselbe wie der ursprüngliche Term. 

Die Lösungsbeschreibung besagt nur, dass wenn du eine Folge hast, die divergiert, dann divergiert diese Folge auch, wenn man sie mit einer Zahl, hier $d$, multipliziert. Dieses $\frac{1}{3}$ findest du bei dem Term ja quasi ganz vorne. Man kann also im Nenner 3 ausklammern und dann das $\frac{1}{3}$ einfach vor den gesamten großen Bruch schreiben. Das ist aber eigentlich völlig unnötig hier. Man sollte sich auch nicht zu sehr auf "Musterlösungen" konzentrieren, wenn man selbst einen geeigneten Rechenweg gefunden hat. 

Bei deinem Versuch gibt es ein Problem: Grundsätzlich schreibt man den Limes nicht immer mit, sondern formt den Term erst einmal um und wendet ganz zum Schluss den Limes darauf an. Dann kannst du außerdem nicht hingehen und bei einigen Summanden schon $n\rightarrow \infty$ laufen lassen und bei anderen Summanden nicht. Statt also immer 0 dort hinzuschreiben, schreibst du die entsprechenden Brüche dorthin. Da die natürlich alle gegen 0 gehen, geht insgesamt der Nenner gegen 0 und damit der gesamte Ausdruck gegen unendlich. Also unbedingt nochmal die genaue Schreibweise dazu anschauen! Ansonsten ist der Ansatz vollkommen richtig. 

Hi. Also Zähler und Nenner getrennt betrachten funktioniert nicht. Durch entsprechendes ausklammern (teilen) könnte man hier auf jedes beliebige Ergebnis kommen.
Das Standardvorgehen ist eigentlich die größte Potenz des Nenners im Zähler und im Nenner auszuklammern. So kommt man meiner Meinung nach am einfachsten zum Ziel.