Unsetigkeitsstellen Funktionen mit zwei Eingabewerten

Aufrufe: 1069     Aktiv: 01.05.2019 um 13:33
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Hallo

Bei Teilaufgabe a habe ich einfach geschaut wo die Grenzen der jeweiligen Teilintervalle sind. Wenn ich beispiel die Funktion für |x| + |y| gegen 10 laufen lasse, dann ergibt das ja für die "erste Funktion" : ( 10 / (|x| + |y|)) ja einfach gerade 1

Wenn ich dann bei der Funktion für |x| + |y| >= 10 schaue, dann sehe ich ja dass dort bei der Grenze 10 der Funktionswert 0 angenommen wird, welcher nicht gleich 1 ist wie bei der Grenze für die Funktion zwischen 1 < |x| + |y| < 10. Ist diese Vorgehensweise korrekt?

Bei (b)

Hier habe ich Mühe zu sehen, wie genau ich auf die Gleichungen komme, welche mir für die Skizzierung der Niveaumenge helfen. Ich habe ja bei der letzten Aufgabe, welche ich gestellt habe ein ähnliches Problem gehabt nun ist es für mich aber klarer geworden.

Meine Idee : Natürlich gilt ja wie von der Aufgabe vorgegeben f(x,y) = c, das heisst man muss ja folglich einfach nur einsetzen und dann schauen was für eine Form dabei herauskommt. Muss ich das jetzt für jeden einzelnen Teilintervall machen?

Ich sehe nicht, da z.B. für den Teilintervall |x| + |y| >= 10 ja der Funktinswert 0 gilt. Das heisst es ist ein "fixes Niveau" und somit eine konstante?

Bin froh und dankbar für jegliche Hilfe

 

LG 

Wizz

 

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Hallo,

die a) stimmt soweit schon mal.

Die Niveaumengen einer solchen Funktion habe ich auch noch nicht aufgestellt, aber im Prinzip ist das vorgehen genau so.
Wir setzen unsere Funktion wieder gleich \( c \). Die konstanten Parts sind ziemlich eindeutig. Nehmen wir zum Beispiel \( c=0 \) erhalten wir

\( 5 = 0 \ , \ 0 = 0 \ , \ 10 = 0 \)

Davon existiert natürlich nur der Fall \( 0=0 \). Für die Fälle in denen es keine Lösung für die GLeichung existiert, haben wir auch keine Niveaulinien. Für den Fall \( 0=0 \) erfüllen alle \( x,y \) aus diesem Intervall die Gleichung, also müssen wir gucken was die Grenzen dieses Bereiches sind.

\( \vert x \vert + \vert y \vert \geq 10 \) 

Das bedeutet, dass \( x \in [-10,10] , \ y \in [-10,10] \)
Alle \( x,y \) die in diesen Intervallen liegen werden also angenommen, wir erhalten also ein Rechteck, das komplett ausgefüllt ist. 

Abschließend für \( c= 0 \) betrachten wir noch 

\( \frac {10} {\vert x \vert + \vert y \vert} = 0 \)

Wir erhalten also \( 10 = 0 \). Also wird auch diese Gleichung von keinem \( x\) und \( y\) erfüllt.

Die Höhenlienen die wir nun für \( c=0 \) erhalten ist also nur das Rechteck \( [-10,10] \times [-10,10] \).

Grüße Christian

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Hallo Christian

Vielen Dank für deine Antwort das hat mir wieder mal sehr geholfen ich verstehe nun was ich machen muss. Aber ich seh noch nicht ganz wieso du die Intervalle x = [-10,10] und y = [-10,10] genommen hast. Theoretisch könnten ja beide Werte innerhalb der Intervalle auch den Wert 0 annehmen und dadurch wäre ja |x| + |y| nicht >= 10.

Ich habe meine (a) noch hinzugefügt in der Frage, könntest du das noch sicherheitshalber kurz überfliegen? ^^ Das wäre super!

Ansonsten nochmals vielen Dank

LG
Wizz   ─   wizzlah 01.05.2019 um 21:09
Ouh du hast absolut recht. Habe das Vergleichszeichen richtig abgeschrieben, aber es umgekehrt im Kopf gehabt. Das wären natürlich die Intervalle für \( \vert x \vert + \vert y \vert \leq 10 \), also musst du das noch einmal richtig bestimmen.

Zu deiner Lösung der a)
Du hast geschrieben bei \( f(x,y) = 10 \) ist sie unstetig. Das stimmt so nicht ganz. Sie ist im Punkt \( P(x\vert y) \) unstetigt , mit \( \vert x \vert + \vert y \vert = 10 \).
\( f(x,y) \) steht ja für den Funktionswert und dieser ist hier entweder \( 1 \) oder \( 0 \).
Bis auf diesen kleinen Darstellungsfehler stimmen die Grenzwerte aber.   ─   christian_strack 01.05.2019 um 22:11
Ok das ist natürlich logisch ich habe es gerade noch angepasst, danke :-)..
Im Fall für die Lösung für |x| + |y| <= 10 kann ich also sagen, dass x / y = (-inf,-5 ; 5, inf) oder?

Dann können beide mindestens den Wert 5 annehmen was zusammen 10 ergeben würde.In diesem Sinne wäre die "Lösungsmenge" ja beschränkt, da nicht alles aus den reellen Zahlen zulässig ist.

Die Lösungsmenge wäre hier also entsprechend aber abgeschlossen und zusammenhängend, richtig?
   ─   wizzlah 01.05.2019 um 22:27
Bei den anderen Lösungen habe ich leider auch wieder ein Problem (sorry!) :
Zum Beispiel für c = 1 (oben geadded) : Ist das korrekt, was ich da aufgeschrieben habe. Es gilt ja nur der Intervall 1 <= |x| + |y| < 10 und mit c = 1 wird ja in diesem Teilintervall der Wert 10 angenommen was nicht zulässig ist.

Bei c = 2 habe ich für |x| + |y| = 5 in 1 <= |x| + |y| < 10. Ist der Intervall für x = [-5 , 5 ] und y = [-5 , 5] korrekt?   ─   wizzlah 02.05.2019 um 11:40
Wenn \( \vert x \vert = 10 \) ist, darf \( y \in \mathbb{R} \) sein und umgekehrt. Wenn wir die Ungleichung als Geradengleichung darstellen, erhalten wir
\( \vert y \vert = - \vert x \vert +10 \)
Ich würde jetzt für jeden Quadranten eine Fallunterscheidung machen. Vermutlich bekommst du etwas Rautenförmiges. Das innere erfüllt die Ungleichung nicht.

Aber ja er müsste trotzdem zusammenhängend und abgeschlossen sein. Berechne am besten aber erstmal die Lösung.

Bei deinen geposteten Lösungen ist sonst alles richtig. Außer bei c=5. Stell dir die Lösung als der Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius \( \frac 1 {\sqrt4} \) vor.
   ─   christian_strack 02.05.2019 um 19:49
Ja stimmt, dass es eine Kreisgleichung ist, hätte ich sehen müssen..... habe wieder zu weit gedacht, aber ich verstehe nun wie man auf die Lösungsmengen kommt. Nur mit den Skizzen tu ich mich noch immer schwer. Ich habe den Graphen gezeichnet und dieser bildet wirklich eine Raute. Ich seh aber grafisch nicht wie die Lösungsmenge zustande kommt, denn wenn ich x = 10 setze und y beliebig sein kann, dann ist ja y gerade 0 (auf dem Graphen) was für mich gerade keinen Sinn macht.

Auf jeden Fall reicht das erstmal für diese Aufgabe ansonsten hören meine Fragen gar nicht mehr auf :-) ich werde die kleineren noch vorhandenen Unklarheiten dann noch in der Übungsstunde besprechen.

Nochmals vielen Dank!

LG
Wizz   ─   wizzlah 02.05.2019 um 21:55
Ich glaube dein Fehler liegt darin das du nur den Graphen als Niveaulinie siehst. Allerdings ist es die ganze Fläche außerhalb dieser Raute und auf dem Rand. Alles was innen liegt erfüllt die Bedingung nicht. Bei der Skizze die du für c=0 gemacht hast wäre es auch nicht nur der Rand vom Rechteck sondern auch alles innerhalb (wenn das die Lösung gewesen wäre).

Immer raus mit den Fragen. Wenn ich kann helfe ich immer gerne :)
   ─   christian_strack 02.05.2019 um 22:35
Jetzt ist es mir einiges klarer geworden ich habe es noch mit paar anderen Studenten angeschaut und ich denke jetzt sollte es ungefähr sitzen. ^^

Vielen Dank für dein Angebot ich denke Fragen von meiner Seite aus werden noch einige kommen.
Wahrscheinlich heute sogar schon je nach dem wie weit ich mit dem nächsten Übungsblatt komme :-)
   ─   wizzlah 03.05.2019 um 16:06
Das freut mich zu hören :)

Dann sag ich mal bis später ;)   ─   christian_strack 03.05.2019 um 17:39

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