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Es wurde wahrscheinlich mit Hilfe der $p$-$q$-Formel oder ähnlichem die Nullstellen des quadratischen Terms bestimmt und dieser dann mit Hilfe seiner Linearfaktoren umgeschrieben und zusammengefasst. Man hat dies sicherlich in einem Schritt verkürzt, da diese Art der Faktorisierung eher zu den Grundlagen gehört. Die eigentliche Aufgabe bestand ja darin die Determinante zu berechnen um damit das Charakteristische Polynom zu bestimmen. Die Nullstellenberechnung wurde hier also vermutlich weggelassen damit der Rechenweg übersichtlicher bleibt.

Der Faktor $5-\lambda$ steht ja schon da. Bleibt noch ein quadratischer Ausdruck. Dazu bestimmt man dessen Nullstellen, allgemein: $x^2+p\, x+q=(x-x_1)(x-x_2)$, wobei $x_1,x_2$ die Nullstellen sind.

Hallo,

wenn die Matrix nur Koeffizienten in ganzen Zahlen hat, so ist das charakteristische Polynom auch mit Koeffizienten in ganzen Zahlen (allgemeiner jeden Ring). Bemerke, dass charpol ist normiert. Falls ein normiertes Polynom ganze Zahlen Koeffizienten hat, so ist jede Nullstelle ein Teiler des Absolutgliedes. Hier Teiler von 35 testen.

Ansonsten es funktionieren auch Methoden aus obigen Antworten, Nullstellen testen aber manchmal leichter, daher hoffe ich guter Tipp.