Nullstellen

Aufrufe: 761     Aktiv: 13.06.2021 um 16:33

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Hi! 

Ich soll zeigen, dass eine Funktion genau 6 Nullstellen hat. Nun ist die Frage, wie man das lösen kann, ohne große Aufwendung. Ich habe mehrer Lösungsansätze, z.B. Lemma von Gauß und dann eine Polynomdivision und möglicherweise irgendwann die PQ-Formel. Eine andere Lösung wäre, den Graphen zu zeichnen. Aber nun wundere ich mich, ob es nicht doch schneller geht als wie ich es mir vorstelle.

Eine Nullstelle, die ich bereits mit dem Lemma von Gauß berechnet habe, ist 1.

Meine Funktion: y(x) = x^6-4*x^5-9*x^4+40*x^3+6*x^2-64*x+16 = 0

Ich bedanke mich für die Hilfe.

Falls die Aufgabe einfach aufwendig ist und ich mit den Lösungsansätzen bereits rivhtig liege, wäre es super, trotzdem eine kurze Antwort bezugdessen dazulassen. :)

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Hi :)

Sagt dir der Begriff der komplexen Zahlen etwas? Damit könnte man es unter Voraussetzung des Fundamentalsatzes natürlich am einfachsten Begründen.
Falls du noch in der Schule seiend noch nie etwas davon gehört hat und es nur um reele Nullstellen geht, melde dich gerne nochmal!

Viele Grüße
  ─   derpi-te 13.06.2021 um 14:44

Hi!
Ja, das sagt mir was und mit komplexen Zahlen kenne ich mich auch gut aus, aber könntest du vielleicht noch näher auf deinen Lösungsansatz eingehen? :) Wäre echt super danke!! Würde mich interessieren, trotzdem geht es bei meiner Aufgabe nur um 6 reelle Lösungen. Hättest du da auch einen Ansatz?
Danke!
  ─   userf4fd70 13.06.2021 um 15:00

Moin! Kann es sein, dass du dich da irgendwo vertippt hast? Deine Funktion hat 5 reelle Nullstellen, wobei 1 aber nicht dazu gehört.   ─   1+2=3 13.06.2021 um 15:11

Hi!
Leider nicht, denn nach der Aufgabe existieren genau 6 reelle Lösungen. Auch kann man das anhand der Gradzahl (Polynom 6ten Grades) nennen, denn Grad(p)=6, -> mindestens 6 reelle Nullstellen sind drinne. Und die Gleichung oben passt auch
  ─   userf4fd70 13.06.2021 um 15:15

Stimmt, es gibt 6 reelle Nullstellen. Ich habe mich verzählt, sorry :D
Allgemein aber gilt Grad(p)=6 => maximal 6 reelle Nullstellen. Die Funktion x^2+1 z.B. hat keine reelle Nullstelle trotz Grad = 2.

1 ist aber trotzdem keine Nullstelle deiner Funktion. Die Nullstellen sind alle nicht sonderlich offensichtlich, keine Ahnung wie du das lösen sollst, ohne es numerisch zu machen oder zu plotten...
  ─   1+2=3 13.06.2021 um 15:31

Hallo
Also ich komme auch auf 6 Lösungen ausser ich habe mich verrechnet. Trotzdem ist deine Aussage dass Grad(p)=6->mindestens 6 reelle Nullstellen nicht korrekt. Denn ein Polynom hat maximal so viele Reelle Nullstellen wie der Grad des Polynoms ist, da kann es aber auch sein dass es weniger Nullstellen gibt als der Grad und diese dann aber mit einer Vielfachheit auftreten, betrachte z.B. \(f(x)=(x-1)^2\) diese hat eine Nullstelle bei \(x=1\) aber diese Nullstelle ist doppelt.
  ─   karate 13.06.2021 um 15:33
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Hi :) 

Da die Funktion tatsächlich 6 einfache, reele Nullstellen hat, ist mir noch eine Möglichkeit eingefallen mit der du die Aufgabe ziemlich einfach lösen kannst. 

Plotte dir zuerst die Funktion (sofern das möglich und erlaubt ist ;)) und beginne dann damit einen x-Wert der links von deiner ersten Nullstellen (bspw. x=-3) in die Funktion einzusetzen. Nun wird ein positiver Funktionswert rauskommen. Nimm als nächstes einen x-Wert der zwischen der Nullstelle ganz links und der mit der nächst größeren x-Koordinate liegt (bspw. x=-2) und du stellst fest, dass die Funktion an dieser Stelle einen negativen Funktionswert hat. 

Aufgrund der Stetigkeit und der Definiton über die gesamte reele Achse deiner Funktion liegt nun also eine Nullstelle zwischen -3 und -2. Diese VZW kannst du dir jetzt also zu nutze machen, um auf relativ einfachem Wege zu zeigen, dass es dort genau 6 einfache Nullstellen gibt, indem du es mit Hilfe des Graphen immer weiter ausführst. 

Bei Fragen gerne melden :) 

Viele Grüße
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Die einfachste Argumentation für die Existenz von 6 reellen Nullstellen ist vermutlich folgende:
Berechne $f(x)$ für $x=-3,-2,\ldots,4$. Du siehst, dass die Funktion da sehr oft ihr Vorzeichen wechselt. Nach dem Zwischenwertsatz (Polynome sind stetig) muss zwischen jedem Vorzeichenwechsel mindestens eine Nullstelle liegen. So kannst du begründen, dass es mindestens sechs Nullstellen gibt. Dann brauchst du noch eine Begründung, dass es höchstens sechs Nullstellen gibt, das liefert dir der Fundamentalsatz der Algebra.

Alternativ kannst du versuchen, zunächst eine Faktorisierung über den ganzen Zahlen zu finden. Dann könnte man die Nullstellen direkt ausrechnen. Das ist viel mehr Arbeit, aber auch möglich.
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