Konvergenzkriterien bei Reihen

Aufrufe: 582     Aktiv: 17.06.2021 um 13:58
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Dazu habe ich folgende Fragen. Beim Majorantenkriterium beginnt der Satz: Sei der Betrag an <=bn für alle...
Warum wird an als Betrag betrachtet?

Und beim Wurzelkriterium eigentlich dieselbe Frage: Der Satz beginnt ja wie folgt: Ist mit einer festen positiveb Zahl  q < 1 fast immer der Betrag der n ten Wurzel < = q, so folgt, dass die Summe an ohne Betrag von n= 1 bis unendlich und die Summe  vom Betrag an von n= 1 bis unendlich konvergent sind. Gilt jedoch fast immer (oder auch nur unendlich oft) n te Wurzel aus dem Betrag an >= 1, so sind die Summe an ohne Betrag von n = 1 bis unendlich und Summe an mit Betrag von n = 1 bis unendlich divergent. 
Auch hier verstehe ich die Betragszeichen nicht?
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1 Antwort
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Wenn die Beträge nicht da wären, dann würde z.B. $\sum_{n\in\mathbb N}-n$ konvergieren, denn $-n\leq 0$ für alle $n$ und $\sum_{n\in\mathbb N}0$ konvergiert. Wenn man keine Beträge hätte, dann würde man quasi nur überprüfen, dass die Reihe von oben beschränkt ist und nicht von unten.
Statt den Beträgen kannst du z.B. beim Majorantenkriterium zwei Reihen finden: Gilt $a_n\leq b_n\leq c_n$ für schließlich alle $n$, und konvergieren $\sum_{n\in\mathbb N}a_n$ und $\sum_{n\in\mathbb N}c_n$, dann konvergiert auch $\sum_{n\in\mathbb N}b_n$.
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Jetzt trotzdem noch die Frage zur n ten Wurzel aus dem Betrag an. Es gibt ja nur im Komplexen Wurzeln aus negativen Zahlen.   ─   atideva 17.06.2021 um 12:03
Es sollte eigentlich die n-te Wurzel des Betrags, also $\sqrt[n]{|a_n|}$ sein, damit die Wurzel definiert ist. Außenrum braucht man dann natürlich keine Betragsstriche mehr.   ─   stal 17.06.2021 um 13:58

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