Erkenntnisse zu Quersummen (Muster?!)

Erste Frage Aufrufe: 48     Aktiv: 13.06.2021 um 14:41

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Im Rahmen eines Uni-Seminares (Arithmetik-Entdecken) sollen wir folgende Aufgabe betrachten:

§  Die Quersumme einer (maximal) dreistelligen Zahl soll genau 4 betragen. Bestimmen Sie alle Möglichkeiten. (Hier haben wir 45 heraus, aber nur über unsere Tabelle herausgefunden!)

§  Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Quersummen 1, 2, 3, . . . 9 bei (maximal)

dreistelligen Zahlen?

§  Betrachten Sie auch die Quersummen von (maximal) vierstelligen Zahlen.

§  Können Sie Ihre Erkenntnisse von den dreistelligen Zahlen dazu nutzen?


Wir haben bereits Tabellen angefertigt, aber es will uns einfach nicht klar werden, was genau wir entdecken können (sollten!)?! Gibt es ggf. einen Zugang über Kombinatorik?
Wir sind ratlos...
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1 Antwort
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Hi :) 

Fangen wir mal mit a) an: 

Um bei maximal dreistelligen Zahlen auf die Quersumme 4 zu kommen, kann man folgende Ziffernpakte aus je 3 Ziffern kombinieren: 
400
310
211
220 

Nun ist es ja so, dass bei Paket 3 (211) folgende Zahlen erstellt werden können: 
112; 121; 211 Es sind also insgesamt 3. 
Wie viele das sind, rechnet man so \(\frac{3!}{2!*1!}\)
Die 3! im Zähler kommt daher, dass es insgesamt 3 Zahlen sind. 
Da die Zahl 1 genau einmal vor kommt, dividiert man durch 1! 
Da die Zahl 2 genau zwei mal vorkommt, divvidiert man durch 2! 


Diese Formel heißt "Permutation mit Wiederholung" (Hier mehr Infos!)

Nun noch zu jeden der vier Päckchen berechnen, auf wie viele verschiedene Möglichkeiten man die Zahlen anordnen kann und das dann addieren! 


Noch als Tipp: Da es sich um MAXIMAL dreisstellige Zahlen handelt, kann auch eine Null vorne stehen! 



Bei Fragen gerne melden ;) 

Viele Grüße 

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Hallo :-)
Vielen Dank, wir setzen uns jetzt noch einmal da dran und versuchen das mal zu checken ;-)
Ggf. melden wir uns aber nochmal (nicht auszuschließen) LG
  ─   user5b73c5 07.06.2021 um 19:39

Alles klar; kein Problem! Macht das so!

Ceterum: Vielen Dank für Deine nette Bewertung :)
  ─   derpi-te 07.06.2021 um 19:41

Hallo nochmal :-/
Puh...so richtig blicken wir das immernoch nicht. Vor allem vor dem Hintergrund einer Verbindung zu vierstelligen Zahlen.
Zu dem Bruch auch noch eine Frage...3! ist es, weil es insgesamt 3 Möglichkeiten gibt...geschnallt :-)
Aber warum kommt die 1 nur einmal und die 2 genau zweimal vor? Das sehen wir einfach nicht :-/
Und die 0 sollen wir als mit berücksichtigen, richtig? also wäre bei der Quersumme 4 bei Paket 2 auch 013 und 031 möglich?
LG
  ─   user5b73c5 13.06.2021 um 12:21

Hallo :)

Erstmal zu der Frage bezüglich des Bruches:
Du musst ja für jedes Zahlenpaket ausrechnen auf wie viele Arten man die Zahlen kombinieren kann.
Beispielsweise ist bei dem Paket 310 ja noch recht einfach: Für die erste Stelle gibt es drei Möglichkeiten, für die zweite bleiben noch zwei Ziffern als Möglichkeit über (da ja eine schon an der ersten Stelle steht) und für die letzte Stelle bleibt nur noch eine übrig. Es gibt also 3*2*1=6=3! Möglichkeiten.
Dass die Null auch vorne stehen darf und somit die Zahl 031=31 erlaubt ist, hängt damit zusammen, dass es heißt "maximal dreistellige Zahl".

Wollen wir jetzt aber überlegen wie viele Möglichkeiten es gibt die Zahlen aus dem Paket 211 zusammenzubauen, wird es schwieriger, da die Zahl 2 doppelt vorkommt.
Wir rechnen wieder (da im Paket 3 Zahlen sind) 3! und müssen da jetzt aber noch die gleichen Möglichkeiten rausrechen (121 bleibt ja 121 auch wenn ich die beiden Einsen vertausche). Um das zu tun dividieren wir die 3! noch durch 2! (weil eine Zahl doppelt vorkommt) und durch 1! (weil eine Zahl einmal vorkommt) und erhalten somit \(\frac{3!}{2! * 1!}=3 Möglichkeiten \) bzw verschieden Zahlen, die wir aus den Ziffern 211 zusammenbauen können, nämlich: 112,121 und 211.

Sind das die Antworten auf deine Fragen? Und falls ja: Sind sie verständlich?

Falls eines von beiden oder auch keines zutrifft, melde dich sehr gerne einfach nochmal!

Viele Grüße
  ─   derpi-te 13.06.2021 um 14:41

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