Konvergenz einer Summe inkl. Relation beweisen

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Hey liebe Community,

für meine Klausurvorbereitung habe ich folgende Reko-Aufgabe:

 

Das notwendige Kriterium habe ich aufgestellt, in dem ich \lim_{k->\infty} berechnet habe. Da es eine Nullfolge ist, habe ich schon mal ein Indiez dafür, dass diese Reihe konvergieren kann.

 

Nu weiß ich leider nicht wirklich wie ich nun weiterrechnen muss. Ich weiß, dass ich zeigen soll, dass meine Folge, wenn sie konvergiert (gegen den Grenzwert s) am Ende zwischen 1 und 3 liegen soll.

Ich würde mich sehr über etwas Hilfe freuen!

 

Danke euch im Voraus!

gefragt vor 5 Monaten, 1 Woche
anonym,
Student, Punkte: 51

professorrs , bearbeitet vor 4 Monaten, 3 Wochen

 

Vorsicht! das der Ausdruck unter der Wurzel gegen null geht bedeutet hier gar nichts. Nur bei alternierenden Riehen folgt daraus die Konvergenz (Leibnizkriterium).   ─   professorrs, vor 5 Monaten, 1 Woche

Übrigens, ab k=2 ist \( \sum_{k=1}^{\infty} 1/k^2 eine Marojante!   ─   professorrs, vor 5 Monaten, 1 Woche
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2 Antworten
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Die untere Schranke ist leicht: Die Summanden sind alle positiv und der erste Summand ist größer 1, nicht wahr?

Demnach ist die Folge der Partialsummen

\(A_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2\cdot \ln(k+1)}\)

übrigens auch monoton wachsend.

Die obere Schranke könnte man sicherlich mit der Majorante \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\) zeigen, wenn das erlaubt ist. Dabei muss der Summand \(k=1\) gesondert betrachtet werden. :-)

Demnach ist die Folge der Partialsummen monoton wachsend und beschränkt - und damit konvergiert sie (Siehe das vorgeschlagene Video).

 

 

geantwortet vor 5 Monaten, 1 Woche
mathe.study
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Der 1.Term spielt für das Grenzwertverhalten, wie übrigens auch die ersten k Terme, keine Rolle. Die Majorane hat, glaube ich den Grenzwert \(\pi^2/6 \).   ─   professorrs, vor 5 Monaten, 1 Woche

Also das mit der Majorante und dem Majorantenkriterium habe ich nun verstanden. Ich frage mich nur wie es korrekt aufgeschrieben wird. Habe jetzt gesagt mein an ist <= 1 / k^2 und habe das als cn definiert. Da der Grenzwert von meinem cn bekannt ist und demnach gegen 0 konvergiert greift dann doch das Majorantenkriterium und ich kann sagen, dadurch dass meine Summe von cn konvergiert auch meine Summe von an konvergiert?   ─   anonym, vor 4 Monaten, 3 Wochen
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Z.B. so: \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2 \ln(k+1)} = 1/\ln(2) +\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2 \ln(k+1)} < 1/\ln(2) +\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2 } = 1/\ln(2) + \pi^2/6 \)

geantwortet vor 4 Monaten, 3 Wochen
p
professorrs
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