Moin Louis!

      \(x\cdot e^{1-x}=x^2\)

\(\Leftrightarrow x\cdot e^{1-x}-x^2=0\)

Durch Ausklammern eines \(x\) erhälst du:

      \(x\cdot (e^{1-x}-x)=0\)

Mit dem Satz vom Nullprodukt siehst du direkt, entweder \(x=0\) oder \(e^{1-x}-x=0\), somit hast du deine erste Lösung schon gefunden.

Nun musst du nur noch \(e^{1-x}-x=0\) lösen. Dazu fällt mir jetzt so adhoc keine direkte, triviale Umformung ein, um das rechnerisch zu lösen.

Aber wenn du umstellst erhälst du: \(e^{1-x}=x\). Graphisch bedeutet das, dass wir den Schnittpunkt der e-Funktion und der linearen Funktion \(x\) suchen. Da kann es offensichtlich maximal einen Schnittpunkt geben. Wenn du dir beide Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnest, oder ein bisschen rumprobierst, siehst du schnell, dass die zweite Lösung \(x=1\) sein muss.

Grüße

wie logarithmiert man das?

Logarithmieren bringt hier auch nicht viel. Du kannst die Gleichung \( e = x*e^x\) auch schreiben \( \frac {1} {x} = e^{x-1}\)
und dann  hilfsweise die Kurvenverläufe von \(\frac{1} {x} \) und \( e^{x-1} \) betrachten. Die schneiden sich nur an einer Stelle:
Und da haben wir schon festgestellt , dass für x =1 die Gleichung erfüllt ist.Andere Schnittpunkte gibt es nicht.