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Wie kann ich diese aufgabe rechnen?
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Punkte: 108

 

wie kann ich das rechnen?   ─   anonym 08.02.2021 um 17:29

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\(\frac{x^2}{4}+y^2=4\iff \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\). Das ist eine Ellipse mit den Radien a=4 und b=2 um den Nullpunkt, der auch Schwerpunkt ist.
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Wie bist du auf 4 und 2 gekommen ?   ─   anonym 08.02.2021 um 18:39

Es geht aber nur um die Hälfte mit \(y\geq0\).   ─   stal 08.02.2021 um 18:45

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Das ergibt ein Doppelintegral: Die Fläche ist \(A= \int_{-4}^4 \int_0^{\sqrt{4-x^2/4}}  dy dx\). Beim Schwerpunkt braucht man aus Symmetriegründen nur y_s, da x_s=0. Dazu berechnet man \( y_s= 1/A \int_{-4}^4 \int_0^{\sqrt{4-x^2/4}}  y dy dx\). Die Integrale sind wohl dann einfach. Noch ein Videotipp!
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Mach dir zunächst klar, wie die Fläche aussieht. Sie kann folgendermaßen beschrieben werden
\( F = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x \in [-4,4], \ y \in [0, \frac{1}{2} \sqrt{16-x^2}] \} \)

Der Flächeninhalt \( A \) von \( F \) lässt sich also berechnen als
\( A \) \( = \int_F 1 \ dA \) \( = \int_{-4}^4 \int_0^{ \frac{1}{2} \sqrt{16-x^2}} 1 \ dy \ dx \) \( = \int_{-4}^4 \frac{1}{2} \sqrt{16-x^2} \ dx \) \( = \frac{1}{2} \int_{-4}^4 \sqrt{4^2-x^2} \ dx \) \( = \frac{1}{2} \cdot \frac{4^2 \pi}{2} = 4 \pi \)

Für die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten des Schwerpunkts \( (s_x,s_y) \) kann man nun ähnlich vorgehen. Es gilt
\( \int_F x \ dA \) \( = \int_{-4}^4 \int_0^{ \frac{1}{2} \sqrt{16-x^2}} x \ dy \ dx \) \( = \dots = 0 \)
und
\( \int_F y \ dA \) \( = \int_{-4}^4 \int_0^{ \frac{1}{2} \sqrt{16-x^2}} y \ dy \ dx \) \( = \dots = \frac{32}{3} \)
und somit erhält man \( s_x = \frac{1}{A} \int_F x \ dA = 0 \) und \( s_y = \frac{1}{A} \int_F y \ dA = \frac{8}{3\pi} \).

Ich hoffe, das war soweit verständlich. Jetzt musst du nur noch die entsprechenden Lücken füllen.
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Lautet die stammfunktion so: x^3/12+xy^2-4x??

ich muss ja nur noch y_s Berechnen durch Symmetrie gründen!
  ─   anonym 09.02.2021 um 00:03

Ich weiß nicht, wie du auf die Stammfunktion kommst. Ich erhalte
\( \int_{-4}^4 \int_0^{\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}} y \ dy \ dx \) \( = \int_{-4}^4 \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{2}\sqrt{16-x^2}} \ dx \) \( = \int_{-4}^4 2 - \frac{x^2}{8} \ dx \) \( = \left[ 2x - \frac{x^3}{24} \right]_{-4}^4 \) \( = \frac{32}{3} \).
  ─   anonym 09.02.2021 um 00:20

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