Betrachte die Funktion \( g: [-1,1] \to \mathbb{R} \) mit \( g(x)= f(x)-x \). Da \(f\) stetig ist, muss auch \(g\) stetig sein. Außerdem gilt \( g(-1) = f(-1) - (-1) \ge -1 + 1 = 0 \) und \( g(1) = f(1) - 1 \le 1 - 1 = 0\). Nach dem Zwischenwertsatz muss \(g\) also im Intervall \( [-1,1] \) eine Nullstelle haben, d.h. es gibt ein \( x_0 \in [-1,1] \) mit \( f(x_0) - x_0 = g(x_0) = 0 \) bzw. \( f(x_0) = x_0 \). \(f\) besitzt also einen Fixpunkt.

Betrachte beispielsweise die Funktion \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) mit \( f(x) = \frac{1}{2}(x+1)^2 - 1 \). Es gilt \( f^{\prime} (x) = x+1 > 0 \) für \(x > -1\), also ist \(f\) für \(x > -1\) streng monoton steigend und somit \( -1 = f(-1) < f(x) < f(1) = 1 \) für \(x \in (-1,1) \). \(f\) lässt sich also zu einer Funktion \(g: (-1,1) \to (-1,1), x \to f(x) \) einschränken. \(g\) ist offensichtlich stetig. Ein Fixpunkt von \(g\) würde nun eine Nullstelle des Polynoms \( p = \frac{1}{2}(x+1)^2 - x - 1 \) im Intervall \( (-1,1) \) liefern. Wegen \( deg(p) = 2 \) kann \(p\) nur zwei Nullstellen haben und diese sind \(-1\) und \(1\). Die Nullstellen von \(p\) liegen also nicht in \( (-1,1) \). Somit kann \(g\) keinen Fixpunkt haben.