Stammfunktion

Erste Frage Aufrufe: 83     Aktiv: 15.06.2021 um 16:33

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Hallo zusammen, 

ich hätte eine schwere Aufgabe zu lösen! 

Bestimmen Sie die Stammfunktion zur folgenden Funktionen:


Vielleicht kann mir jemand helfen und auch eventuell die Lösungswege bisschen beschreiben! 

Vielen lieben Dank und ganz liebe Grüße!
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Bei der $f$ schreiben wir erstmal den Logarithmus um zu $\log_6(7l^3+4l^2)=\frac{\ln(7l^3+4l^2)}{\ln 6}$ und machen dann partielle Integration, wobei wir das Polynom integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit kommt man auf $$\int k(l)\,\mathrm dl=(7l^3+4l^2)\log_6(7l^3+4l^2)-\int(7l^3+4l^2)\frac1{\ln 6}\frac{21l^2+8l}{7l^3+4l^2}\,\mathrm dl=(7l^3+4l^2)\log_6(7l^3+4l^2)-\frac1{\ln6}\int(21l^2+8l)\,\mathrm dl$$ und das letzte Integral kannst du sicher selbst lösen. Die zweite Aufgabe geht eigentlich genauso.
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Als kleine Alternative, man könnte auch zuerst substituieren
$$ u = 7l^3 + 4l^2 \Rightarrow \frac {\mathrm{d} u} {\mathrm{d} l} = 21l^2 + 8l \Rightarrow \mathrm{d}l = \frac {\mathrm{d}u} {21l^2 + 8l} $$
dann vereinfacht sich das Integral zu
$$ \frac 1 {\ln(6)} \int \ln(u) \mathrm{d}u $$
  ─   christian_strack 14.06.2021 um 14:28

Erstmal vielen lieben Dank für deine Nachricht! 😊 Nun ergibt sich mit die Frage, warum kann ich das 1/ln6 aus dem Integral lösen und woher kommen diese 21l^2+8l dl? Ich versteht, dass dies die Ableitung von der inneren Gleichung des v ist, jedoch verstehe ich nicht, warum diese nun auf einmal im Integral stehen. Ich hoffe Sie können nachvollziehen was ich meine! 😊   ─   user09e578 15.06.2021 um 13:08

$\frac 1 {\ln(6)}$ ist ja einfach ein konstanter Wert. Also können wir ihn wie eine Zahl einfach aus dem Integral rausziehen. Also für eine Zahl \( a \) gilt
$$ \int a \cdot f(x) \ \mathrm d x = a \int\limits f(x) \ \mathrm dx $$
Sagt dir integrieren durch Substitution etwas?
Wir setzen eine neue Variable $u$ und setzen $ u = 7l^3 + 4l^2 $. Wir können jetzt aber nicht einfach die neue Variable einführen, denn unser Integral geht ja über die Variable $l$. Um einen Zusammenhang zwischen $\mathrm du $ und $\mathrm dl$ herzustellen, bestimmen wir die Ableitung $u' = \frac {\mathrm du} {\mathrm dl} $. Dann formen wir um
$$ \mathrm dl = \frac 1 {u'} \mathrm{d}u$$
Vorsicht: der Bruch $ \frac {\mathrm du} {\mathrm dl} $ beschreibt den Differentialquotienten. Im allgemeinen dürfen wir ihn nicht wie einen normalen Bruch behandeln. Da muss man aufpassen. Hier ist es aber erlaubt.
Nun ersetze ich also $\mathrm dl$ und erhalte $ \int \ln(u) \ \mathrm{d}u $.
Die Substitutionsmethode bietet sich vor allem an, wenn wir eine Verkettung von Funktionen haben und die innere Funktion nochmal als Vorfaktor. Hier ist $21l^2 + 8l$ die Ableitung der inneren Funktion des Logarithmus $7l^3+4l^2$.
  ─   christian_strack 15.06.2021 um 16:33

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Hallo,

vergleiche doch mal was vor dem Logarithmus steht und was im Logarithmus steht. Findest du einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Polynomen? Welche Integrationsmethode bietet sich somit für den ersten Schritt an?

Beachte bei der f) noch, dass wir meistens nur die Stammfunktion/Ableitung von $\ln(x)$ kennen. Wir müssen also noch zum natürlichen Logarithmus umformen. Weißt du wie das geht? Sagt dir der Basiswechsel für Logarithmen etwas?

Grüße Christian
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