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Bei der $f$ schreiben wir erstmal den Logarithmus um zu $\log_6(7l^3+4l^2)=\frac{\ln(7l^3+4l^2)}{\ln 6}$ und machen dann partielle Integration, wobei wir das Polynom integrieren und den Logarithmus ableiten. Damit kommt man auf $$\int k(l)\,\mathrm dl=(7l^3+4l^2)\log_6(7l^3+4l^2)-\int(7l^3+4l^2)\frac1{\ln 6}\frac{21l^2+8l}{7l^3+4l^2}\,\mathrm dl=(7l^3+4l^2)\log_6(7l^3+4l^2)-\frac1{\ln6}\int(21l^2+8l)\,\mathrm dl$$ und das letzte Integral kannst du sicher selbst lösen. Die zweite Aufgabe geht eigentlich genauso.
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stal
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Erstmal vielen lieben Dank für deine Nachricht! 😊 Nun ergibt sich mit die Frage, warum kann ich das 1/ln6 aus dem Integral lösen und woher kommen diese 21l^2+8l dl? Ich versteht, dass dies die Ableitung von der inneren Gleichung des v ist, jedoch verstehe ich nicht, warum diese nun auf einmal im Integral stehen. Ich hoffe Sie können nachvollziehen was ich meine! 😊
─
user09e578
15.06.2021 um 13:08
$\frac 1 {\ln(6)}$ ist ja einfach ein konstanter Wert. Also können wir ihn wie eine Zahl einfach aus dem Integral rausziehen. Also für eine Zahl \( a \) gilt
$$ \int a \cdot f(x) \ \mathrm d x = a \int\limits f(x) \ \mathrm dx $$
Sagt dir integrieren durch Substitution etwas?
Wir setzen eine neue Variable $u$ und setzen $ u = 7l^3 + 4l^2 $. Wir können jetzt aber nicht einfach die neue Variable einführen, denn unser Integral geht ja über die Variable $l$. Um einen Zusammenhang zwischen $\mathrm du $ und $\mathrm dl$ herzustellen, bestimmen wir die Ableitung $u' = \frac {\mathrm du} {\mathrm dl} $. Dann formen wir um
$$ \mathrm dl = \frac 1 {u'} \mathrm{d}u$$
Vorsicht: der Bruch $ \frac {\mathrm du} {\mathrm dl} $ beschreibt den Differentialquotienten. Im allgemeinen dürfen wir ihn nicht wie einen normalen Bruch behandeln. Da muss man aufpassen. Hier ist es aber erlaubt.
Nun ersetze ich also $\mathrm dl$ und erhalte $ \int \ln(u) \ \mathrm{d}u $.
Die Substitutionsmethode bietet sich vor allem an, wenn wir eine Verkettung von Funktionen haben und die innere Funktion nochmal als Vorfaktor. Hier ist $21l^2 + 8l$ die Ableitung der inneren Funktion des Logarithmus $7l^3+4l^2$. ─ christian_strack 15.06.2021 um 16:33
$$ \int a \cdot f(x) \ \mathrm d x = a \int\limits f(x) \ \mathrm dx $$
Sagt dir integrieren durch Substitution etwas?
Wir setzen eine neue Variable $u$ und setzen $ u = 7l^3 + 4l^2 $. Wir können jetzt aber nicht einfach die neue Variable einführen, denn unser Integral geht ja über die Variable $l$. Um einen Zusammenhang zwischen $\mathrm du $ und $\mathrm dl$ herzustellen, bestimmen wir die Ableitung $u' = \frac {\mathrm du} {\mathrm dl} $. Dann formen wir um
$$ \mathrm dl = \frac 1 {u'} \mathrm{d}u$$
Vorsicht: der Bruch $ \frac {\mathrm du} {\mathrm dl} $ beschreibt den Differentialquotienten. Im allgemeinen dürfen wir ihn nicht wie einen normalen Bruch behandeln. Da muss man aufpassen. Hier ist es aber erlaubt.
Nun ersetze ich also $\mathrm dl$ und erhalte $ \int \ln(u) \ \mathrm{d}u $.
Die Substitutionsmethode bietet sich vor allem an, wenn wir eine Verkettung von Funktionen haben und die innere Funktion nochmal als Vorfaktor. Hier ist $21l^2 + 8l$ die Ableitung der inneren Funktion des Logarithmus $7l^3+4l^2$. ─ christian_strack 15.06.2021 um 16:33
$$ u = 7l^3 + 4l^2 \Rightarrow \frac {\mathrm{d} u} {\mathrm{d} l} = 21l^2 + 8l \Rightarrow \mathrm{d}l = \frac {\mathrm{d}u} {21l^2 + 8l} $$
dann vereinfacht sich das Integral zu
$$ \frac 1 {\ln(6)} \int \ln(u) \mathrm{d}u $$ ─ christian_strack 14.06.2021 um 14:28