Integral des Sinus

Erste Frage Aufrufe: 276     Aktiv: 30.06.2023 um 18:28

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Hallo, ich würde mich zu folgender Frage über jede Hilfe freuen.

Ich soll zeigen, dass das folgende Integral nicht existiert.
Wäre mit f(-x)=-f(x) die Existenz widerlegt?
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Vielen Dank für eure Antworten!   ─   user77921b 30.06.2023 um 18:28
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3 Antworten
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Moin,

da fängt man einfach an zu rechnen: $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sin{x}dx=\lim\limits_{R\to \infty}\int\limits_{0}^{R}\sin{x}dx+\lim\limits_{R\to \infty}\int\limits_{-R}^{0}\sin{x}dx=...$$

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Nein, so fängt man nicht an. Man kann $\lim$ nicht verwenden, wenn die Konvergenz unklar ist.   ─   mikn 29.06.2023 um 14:09

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@mikn es ist der $\sin{x}$ offensichtlich Riemann-integrierbar auf Intervallen. Dann prüft man, ob der Grenzwert existiert: wenn er nicht existiert, dann konvergiert das Integral nicht, ansonsten kann man ganz normal weiterrechnen.   ─   fix 29.06.2023 um 14:14

Ich weiß. Du hast aber schon $\lim$ hingeschrieben, obwohl es unklar ist, ob er existiert oder nicht. Das geht eben nicht. Und das steht auch nicht so als erstes in der Def. - daher soll Fragy erstmal selbst nachschlagen.   ─   mikn 29.06.2023 um 14:27

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Du meinst, Du sagst "f(-x)=-f(x)", Aufgabe fertig?
Nein. Schau in die Def. des uneigentlichen Integrals bzw. die Def. der Konvergenz davon. Das gilt es zu widerlegen. Dazu gehört auch Argumentation (Text), nicht nur Formeln.

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Lass mich mal einen Kommentar machen: Eine Aussage wie "Sei $f \in C^0(\mathbb{R})$. Wenn $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ als uneigentliches Riemann integral exisitiert und $f(x)=-f(x)$ gilt, dann muss $f=0$ gelten (oder ähnliche Einschränkungen)." stimmt nicht. Du kannst sehr viele Funktionen nach dem Rezept 

$$g(x)=f(x)e^{-x^2}$$

(mit $f(x)=-f(x)$) erzeugen,die $g(-x)=-g(x)$ erfüllen. Jedoch existieren für viele gängige Klassen von  Funktionen eben die uneigentlichen Riemann Integrale $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx$ von diesen. Nehmen wir $g(x)=\sin(x)e^{-x^2}$. Erfüllt auch $g(-x)=-g(x)$ und das uneigentliche Riemann Integral existiert. 

Umgedreht, für $h(x)=\cos(x)e^{x^2}$ gilt auch $h(-x)=-h(x)$, aber das uneigentliche Riemann-Integral existiert nicht. 

TL;DR: Antisymmetrie hat erstmal nichts mit der Existenz von uneigentlichen Riemann Integralen zu tun.

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