Bestimmung linearer Gleichung, welche Gerade als Lösungsmenge hat.

Erste Frage Aufrufe: 206     Aktiv: 18.10.2023 um 23:43

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Hallo,

es geht um folgende Aufgabe: (bin 1. Semester Mathestudent)

Zum Kontext: das Lemma bezieht sich auf einen Hilfssatz, der mir kurzgefasst sagt, dass die Lösungsmenge einer linearen Gleichung in 2 Variablen sich durch eine Gerade äußert, wenn $a \neq 0$. Die Lineare Gleichung hat dabei die Form: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2} = c$ und $a$ entspricht $\begin{pmatrix} a_{1}\\a_{2} \end{pmatrix}$. $G_{p,v}\subset \mathbb{R}^2$ entspricht $p+t\cdot v$.

Also nun zum Problem: Den Beweis habe ich, glaube ich zumindest, nachvollzogen. Nur frage ich mich, ist es möglich nicht einfach 2 zufällige Punkte aus der Parameterdarstellung der gegebenen Gerade $G_{p,v}$ zu nehmen und dann diese in die lineare Gleichung einzusetzen und dann aufzulösen nach $a$ in Abhängigkeit von $c$? Das klingt etwas zu einfach und gleichzeitig nicht so "formal mathematisch", weshalb ich dann mir doch frage, was ich jetzt eigentlich genau tun soll. Ein anderer Ansatz fällt mir im Moment nicht ein. Könnte mir jemand helfen?

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Du hast ja schon zwei Punkte der Geraden. Überlege dir mal, wie du die Parametergleichung der Geraden in die Koordinatengleichung der Geraden umschreiben kannst. Die KG ist dann die gesuchte Gleichung. Wenn du Mathe-LK hattest, sollte dir das Vorgehen mit der KG von den Ebenen bekannt sein.

Ansonsten hilft immer: Skizzieren und Ideen ausprobieren. Dabei kann man viel lernen. Und manchmal ist es wirklich einfacher als man denkt.
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Ich habe den Verdacht, dass es sich bei v um einen Richtungsvektor handelt! Damit wäre die Parameterdarstellung schon gegeben: \(x=p+tv\), siehe Frage!
Das ist aber wohl nicht die gesuchte Geradengleichung.
Diese ist wohl eine Gleichung der Form \(a \cdot x = c\), also sowas wie die Hessesche Normalform
  ─   m.simon.539 18.10.2023 um 21:26

Genau, v soll ein Richtungsvektor sein und nicht unbedingt ein Punkt der Geraden. Somit habe ich die Parameterdarstellung.

Mit deinem Ansatz, cauchy, würde ich auf eine KG von $x_{1} + x_{2} = 2$ kommen.

  ─   unclever2001 18.10.2023 um 22:13

Ja, wer Vektoren als Punkte deklariert, sollte sowieso erstmal lernen, vernünftige Aufgaben zu stellen. Aber gut, ein zweiter Punkt ist ja schnell ermittelt.

Die Lösung kannst du durch eine Probe ja selbst prüfen. Hier kann auch eine Skizze helfen.

@Simon: Mir ist schon klar, was gesucht ist. Deswegen steht in der Antwort ja auch, dass er die Koordinatengleichung aufstellen soll.
  ─   cauchy 18.10.2023 um 23:43

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