DGL für die Form eines Spiegels aufstellen?

Aufrufe: 87     Aktiv: 15.12.2021 um 20:16

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Hallo an alle
ich bin bei einer Übungsaufgabe und weiß nicht so richtig wie ich damit anfangen soll. Die Aufgabe:
Gesucht ist ein Spiegel der alle Lichtstrahlen parallel zur X-Achse in den Koordinatenursprung reflektiert. Stellen sie eine Differentialgleichung für die Form des Spiegels auf.
Ich weiß wie man Differentialgleichungen normalerweise aufstellt, aber hier bin ich verwirrt. Vielleicht bin ich auch einfach nur zu dumm für diese Aufgabe😅😅. Wäre wirklich nett wenn man mit hier Schritt für Schritt mit der Aufgabe hilft und beim Lösen hilft. 

Vielen Dank schonmal im Voraus
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@mathe24
Bist du dir bei deinem Ansatz wirklich sicher, dass das nicht vielleicht auf eine Kreisgleichung hinausläuft.
Ich sehe nicht, dass du bei deiner Zeichnung die geforderte Spiegeleigenschaft berücksichtigt hättest. Es müsste doch \(\alpha = 180^\circ-2\cdot\beta\) sein!
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Die Lösung der DGL sind Kreise   ─   mathe24 14.12.2021 um 15:54

> Die Lösung der DGL sind Kreise
Ja genau, aber das passt eben so gar nicht zur Fragestellung!! Welchen Zweck hatten denn deine Antworten?
Die Lösungen der gesuchten DGL sind Parabeln und keine Kreise!
Würde man die parallelen Strahlen an einem Kreis reflektieren, so würden die reflektierten Strahlen eben NICHT alle durch den Ursprung laufen, sondern sie würden eine sog. Kardioide einhüllen.
  ─   tester32 14.12.2021 um 17:46

Wie lautet denn deine DGL?   ─   mathe24 14.12.2021 um 19:52

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Die DGL von mathe24 ist zwar richtig, hat aber eine ziemlich unschöne Form. Man kann sich die DGL etwas leichter herleiten: Man kann zeigen, dass das Dreieck zwischen ausfallendem Lichtstrahl und der Tangente gleichschenklig ist mit der Schenkellänge $\sqrt{x^2+y^2}$. Wenn man den Einfallswinkel und Ausfallwinkel mit $\alpha$ bezeichnet, kann man außerdem sehen, dass der Steigungswinkel der Tangente $180^\circ-\alpha$ beträgt. Durch die Gleichschenkligkeit des oben genannten Dreiecks lässt sich zeigen, dass $\tan(\alpha)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}-x}$ ist (man zeichne einfach das passende rechtwinklige Dreieck ein). Damit ergibt sich für die DGL dann $$y'=\tan(180^\circ-\alpha)=\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)=\dots$$
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