Gompertz-Funktion und ihre Ableitung

Aufrufe: 148     Aktiv: 29.05.2024 um 17:29
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Die Aufgabe lautet:


"Mit der Gompertz-Funktion h(t)=ke^(ln(h0/k)e^(-a*t)) lässt sich näherungsweise die Größe h(t) eines Tumors in Abhängigkeit von der Zeit t darstellen. Hierbei ist a eine positive Konstante, h0 die Größe des Tumors zu Beobachtungsbeginn (t=0) und k die Sättigungsgrenze, d.h. die maximale Größe, die der Tumor aufgrund der vorhandenen Gegebenheiten erreichen kann.

a) Bestimmen Sie lim t-> unendlich von h(t).

b) Zeigen Sie, dass h'(t)= F(h(t))h(t), wobei F(h)=F(h(t))=a*ln(k/h(t)) die Vermehrungsrate beschreibt.

c) Bestimmen Sie lim h->0+ von F(h) und interpretieren Sie das Ergebnis."


Teilaufgabe a) konnte ich durch Umformung von h(t) lösen. Logischerweise ist der Grenzwert die Sättigungsgrenze k.

Für Teilaufgabe b) hatte ich die Idee die vereinfachte Gompertz-Formel [h(t)=h0^(e^(-at))/k^(e^(-at)-1)] nach der Quotientenregel abzuleiten und so umzuformen, dass man den in der Teilaufgabe b) beschriebenen Zusammenhang erkennen kann. Das ist mir aber leider nicht gelungen.

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe und vielleicht auch bei Teilaufgabe c) helfen? Herzlichen Dank im Voraus.
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Wieso suchst Du nach einer Idee bei b)? Es steht doch genau da, was Du tun sollst. Von einer vereinfachten Formel ist nirgendwo die Regel. Es geht um das h(t) aus der ersten Zeile. Also leite das ab. Ggf. wiederhole dazu: Kettenregel, Produktregel, log-Regeln.
Wenn Du nicht zum Ziel kommst, lade Deine Rechnung hoch (oben "Frage bearbeiten").
In c) ist ein normaler Grenzwert zu berechnen. Da sind auch keine Tricks dabei.
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Alles klar, danke! Habe b) geschafft. Diese Regeln waren dabei hilfreich: https://www.gut-erklaert.de/images/mathematik/natuerlicher-logarithmus-regeln-gesetze.png

Beim Grenzwert komme ich auf -a*ln(h0/k). Wie kann man das interpretieren?   ─   mathemitmoritz 28.05.2024 um 20:38
In F(h) kommt gar kein h0 vor.   ─   mikn 28.05.2024 um 20:54
Ich habe es nach den oben genannten Regeln umgeformt zu F(h(t))=-a*ln(h0/k)e^(-at). Dann kommt h0 drin vor. Und es kommt der oben genannte Grenzwert raus (falls ich mich nicht verrechnet habe). Ist daran etwas falsch?   ─   mathemitmoritz 29.05.2024 um 11:26
Warum willst Du umformen? Es steht doch da, was F(h) ist. Die Schreibweise ist nicht besonders gut, aber in ganz b) (dort ist F(h) definiert) kommt kein h0 vor.
Und falls Du für die Interpretation was kompliziertes suchst; auch das steht in b) ganz klar.
   ─   mikn 29.05.2024 um 11:32
Hm, das verstehe ich nicht. Man darf doch umformen, solange man es richtig macht. Trotzdem danke für deine Hilfe. Ich schließe die Frage jetzt.   ─   mathemitmoritz 29.05.2024 um 11:41
Ich fragte, warum Du umformen willst? Das hast Du noch nicht gesagt. Mit Umformen wird es komplizierter und führt zum falschen Grenzwert? Also: Warum kompliziert, wenn es auch einfach geht? Auch zu a) hab ich Dich das schon gefragt.   ─   mikn 29.05.2024 um 12:20
Aber wenn ich korrekt umforme, müsste doch auch der korrekte Grenzwert rauskommen, oder?   ─   mathemitmoritz 29.05.2024 um 12:53
Auf die Frage "warum" antwortest Du nicht?!
Dann leg mal Deine Umformung vor - beachte, es geht um $\lim\limits_{h\to0+} F(h)$.   ─   mikn 29.05.2024 um 13:03
Gerne will ich dir sagen warum: Ich wusste nicht, dass es so komplizierter ist, sondern dachte, dass es einfacher wäre. Und jetzt möchte ich wissen wo der Fehler liegt.

Die Umformung habe ich so gemacht wie es hier gemacht wurde, nur mit den korrekten Vorzeichen:

https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=12780591800937714086

Für b) hat es gepasst, also glaube ich eigentlich, dass es richtig ist.   ─   mathemitmoritz 29.05.2024 um 16:48
Du sollst einen Grenzwert berechnen, wo hast Du das gemacht?
Du sollst einen Term betrachten, indem gar kein h0 drin vorkommt, und führst eine neue Größe h0 ein, und findest das einfacher?! Wie auch immer, wenn Du den Grenzwert berechnet hast, schauen wir mal an, wie einfach oder kompliziert Dein Weg ist. Noch hast Du keinen Grenzwert.   ─   mikn 29.05.2024 um 16:58
Ich glaube dir ja, dass es einfacher ist, wusste das aber nicht bevor du es gesagt hast. Und ich weiß immer noch nicht, woran ich es hätte erkennen können.

Meiner Meinung nach ist der Grenzwert gleich dem umgeformten Term und muss nicht extra berechnet werden, da ja gar kein h(t) in dem Term vorkommt. Stimmt das nicht?   ─   mathemitmoritz 29.05.2024 um 17:12
h(t) kommt nicht mehr drin vor, weil Du es durch deine für den Grenzwert unnötige Umformung rausgeschmissen hast. Die anderen Größen hängen aber von h(t) ab, und der Grenzwert verlangt h(t) gegen 0+. Dann musst Du dir eben jetzt überlegen, was das für diese Größen bedeutet (wenn du es über die Umformung machen willst).   ─   mikn 29.05.2024 um 17:29

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