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zz: $(c_n)_{n \in N}$ ist eine Cauchy-Folge komplexer Zahlen $\iff \Re (c_n)_{n \in N}$ und $\Im(c_n)_{n \in N}$ sind Cauchy-Folgen.

Hier mein Lösungsweg:
Zeige =>
Sei cn eine Cauchyfolge mit $c_n = a_n+i*b_n, c= a+ib$ und $\lim\limits_{n\to\infty}c_n = c$, $a_n,b_n \in R$
Dann gilt: $\forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}\forall n,m \geq N: |c_n-c_m|< \epsilon$, dauraus folgt:
$$|a_n-a_m|=|\Re(c_n-c_m)| \leq |c_n-c_m| < \epsilon$$
$$|b_n-b_m|=|\Im(b_n-b_m)| \leq |c_n-c_m| < \epsilon$$
==> $a_n=\Re(c_n)$ und $b_n=\Im(c_n)$ sind Cauchyfolgen

Zeige <=

Seien $a_n,b_n$ Cauchyfolgen
=> Zu $\frac {\epsilon}{2}$ existieren $N_1, N_2$, sodass:
$|a_n-a_m|< \epsilon$ und $|b_n-b_m|< \epsilon$

Sei $N_0 = max(N_1,N_2)$, dann gilt $\forall n \geq N_0$:
$$|c_n-c_m| = (?) = |(a_n - a_m)+i(b_n-b_m)| \leq (?) \leq |a_n-a_m| + |b_n-b_m| < \frac {\epsilon}{2} + \frac {\epsilon}{2} = \epsilon$$
==> $(c_n)_n$ ist eine Cauchy-Folge.

Beim ersten (?) wollte ich fragen, ob man das so machen kann. Ich habe das etwas aus dem normalen Konvergenzbeweis, den ich vorher geführt habe, abgekupftert.
Beim zweiten (?) wollte ich wissen, ob man die Dreiecksungelichung so anwenden kann, weil ich nicht genau weiß, wie die sich im komplexen verhält.

MfG Michi
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Das mit der Dreiecksungleichung ist so richtig, du musst zwar noch das \(i\) berücksichtigen aber das fliegt eh weg. Im ersten Teil lass den Limes erstmal weg (was soll der da) und zweitens musst du vielleicht noch begründen, warum \(|\mathfrak{R}(z)|<|z|\), nutze einfach die Definition, dann passt das aber alles (manche Korrekteure wollen sowas sehen).
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Danke für deine Hilfe, den beweis zum |Re(z)|<|z| habe ich aufm Papier, das war mir hier nur etwas zu viel Schreibarbeit.   ─   michael32pi 05.01.2022 um 15:01

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Das ist alles genau richtig so.
Erstes (?): Da hast Du ja nur die Zerlegung $c_n=a+i\cdot b_n$ eingesetzt und die Summanden umsortiert. Da ist natürlich nichts gegen zu sagen (im Gegenteil ;-)).
Zweites (?): Die Dreiecksungleichung gilt auch im komplexen, ohne Einschränkung. Du solltest den Zwischenschritt noch hinschreiben, indem im zweiten Summanden $|i|$ herausgezogen wird und $|i|=1$ benutzt wird.

Ergänzung: Man kann es noch etwas klarer aufschreiben:
Für $\Longrightarrow$: Sei $\varepsilon>0$. Dann gibt es..., weil $c_n$ Cauchyfolge ist. Dann gilt für alle $n,m....$.
Für $\Longleftarrow$: Sei $\varepsilon>0$. Dann gibt es $N_1,N_2$.... so, dass für alle $n,m....$, da $a_n,b_n$ Cauchyfolgen sind. Nach der Def. von $N_0$ sollte auch $n,m\ge N_0$ stehen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 21.09K

 

Vielen Dank, das hat mir weitergeholfe :D
  ─   michael32pi 05.01.2022 um 15:00

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