Normalengleichung mit QR-Zerlegung lösen

Aufrufe: 148     Aktiv: 09.03.2022 um 19:28

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Hallo :),

ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe:
Ich habe die Daten:

$(0,1)$;$(2,2)$;$(4,4)$ und $(6,3)$

leider hat er mein LaTeX-Code für eine Tabelle nicht erkannt.

mit der soll eine Ausgleichgerade $f(x)=c_0+c_1x$ mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt werden.

Dazu sollte ich zuersteinmal die Normanlengleichung lösen und $c_0$ und $c_1$ bestimmen. (also mit $A^TAx=A^Tb$)

Nun soll ich das lineare Ausgleichsproblem mittels der QR-Zerlegung der Matrix A bestimmen. Die Matrix A muss nicht berechnet werden.

 

Der letzt Satz wirft mir Fragen auf, wie kann ich denn das ganze lösen ohne Q zu bestimmen?

Also folgenden Zusammenhang kenne ich: 

Da die Matrix A die zu den Daten gehört eine $4x2$ Matrix ist, muss Q eine $4x2$ und R eine $2x2$ Matrix sein. 

$$Ax=QRx=b \Leftrightarrow Rx=Q^Tb$$

Vielleicht könnt ihr mir sagen, ob das überhaupt geht, ohne Q zu berechnen

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Punkte: 50

 

Soll ohne A oder ohne Q gerechnet werden? Das ist oben widersprüchlich. Poste mal die Original-Aufgabenstellung.   ─   mikn 09.03.2022 um 13:59

Oh man, sorry. Die Matrix Q soll nicht berechnet werden.   ─   walterfrosch 09.03.2022 um 14:31

Aufgabestellung im Original: Lösen Sie das lineare Ausgleichsproblem mittels QR-Zerlegung der Matrix A. Die Matrix Q muss nicht berechnet werden.   ─   walterfrosch 09.03.2022 um 14:33
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1 Antwort
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Ok. Und zwischen "soll nicht" und "muss nicht" gibt es ja auch noch einen Unterschied.
Man könnte das überbestimmte System Ax=b mit Householder-Transformationen auf die Form Rx=... bringen, dann hat man die QR-Zerlegung indirekt benutzt, ohne Q auszurechnen. Aus den Householder-Transformationen könnte man Q berechnen, ist aber zur Lösung der Normalengleichungen nicht nötig.
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Okay, aber habe ich dann nicht Rx=QTb. Es scheint mir als würde ich gar nicht viel Aufwand sparen, wenn ich die QR Zerlegung ganz normal mit Hilfe von Householder Transformationen bestimme?   ─   walterfrosch 09.03.2022 um 16:37

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Ja, das sehe ich auch so.   ─   mikn 09.03.2022 um 19:28

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