Implikation zeigen, wichtig

Aufrufe: 199     Aktiv: 07.03.2022 um 13:17
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Aufgabenstellung:
Es seien 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Z mit ggT(𝑎, 𝑏) = 1. Zeigen Sie, dass die Implikation 𝑎|𝑐∧𝑏|𝑐 ⇒ 𝑎·𝑏|𝑐
gilt. Warum braucht man die Voraussetzung ggT(𝑎,𝑏) = 1?

Meine Ideen:
a|c <=> Es existiert ein m e Z: a*m=c
und
b|c <=> Es existiert ein n e Z: b*n=c

Bei einer Implikation A => B nehme ich ja A an und zeige somit B.
Wenn ich den ersten Teil nun annehme, wie komme ich dann aber weiter zu B (ab|c) ?

Dachte man kann gleichsetzen: a*m = b*n
Was bringt mir dabei, dass der ggT(a,b)=1 ist?

Könnte ich das ganze zur Linearkombination umformen? Also so:
1 = a*m - b*n



Leider weiß ich wenn auch nicht weiter, was mir der ggT bringt und wie ich kann auf ab|c schließen soll.

Würde mich über Hilfe freuen!

EDIT vom 05.03.2022 um 19:18:

Kann mir jemand hierbei helfen? Wichtig für meine Klausur nächste Woche...
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1 Antwort
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Da $\mathrm{ggT}(a,b)=1$, gibt es $x$ und $y$ mit $ax+by=1$. Zeigen möchtest du nun, dass es $z\in\mathbb{Z}$ gibt, mit $abz=c$. Multipliziere jetzt mal die erste Gleichung mit $c$ und überlege dir - unter Verwendung der Voraussetzung - wie man das auf die Gleichung $abz=c$ zurückführen kann (Stichwort ausklammern).
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Selbstständig, Punkte: 22.18K

 
Danke erstmal für deine Antwort. Meinst du mit einsetzen in die erste Gleichung diese, ax+by=1 ?
Dann würde ja folgen: axc+byc=1 und dann (ax+by) *c = c
Verstehe dann trotzdem leider nicht wie ich das beweisen kann: 𝑎|𝑐∧𝑏|𝑐 ⇒ 𝑎·𝑏|𝑐   ─   user19af63 06.03.2022 um 18:38
Also dann a* x = c also a|c und b*y =c also b|c?   ─   user19af63 06.03.2022 um 18:39
Deine Folgerung stimmt ja nicht. Und das Ausklammern wie du es gemacht hast bringt dir auch nichts. Du hast aber dann in der Gleichung zweimal $c$ auf der linken Seite. Nutze hier die Voraussetzung. Und mache dir nochmal klar, was du zeigen willst und was das formal bedeutet.   ─   cauchy 06.03.2022 um 18:59
Tut mir leid, aber ich weiß trotzdem nicht, was mir die Voraussetzung, dass ggT(a,b)=1 dann in der Gleichung bringen soll. Meine einzige Idee wenn noch: a * (cx) + b* (cy) = c dass ich damit irgendwie sehe das a bzw b ein Teiler von c ist.   ─   user19af63 06.03.2022 um 19:15
Ne, so nicht. Die Voraussetzung mit dem ggT brauchst du, um die Gleichung überhaupt aufstellen zu können.

Wende auf $c$ links jeweils die Voraussetzung an!   ─   cauchy 06.03.2022 um 19:25
Die Voraussetzung ist ja a|c und b|c mit a*m=c und b*n=c.
Also : axam + bybn = c ?
Und wenn weiter:a^2 (xm) + b^2 (yn) = c
Weiter wüsste ich dann trotzdem nicht…
   ─   user19af63 06.03.2022 um 20:06
Es geht in die richtige Richtung, aber ja, damit kommst du nicht weiter. Vertausch mal die $c$. Dann bist du eigentlich schon fast fertig.   ─   cauchy 06.03.2022 um 22:18
Also axbn + byam = c

Wie schließe ich dann damit auf ab|c ?   ─   user19af63 07.03.2022 um 09:54
\(ab\) ausklammern!   ─   mathejean 07.03.2022 um 11:28
Achso! Also dann ab * (xn+ym) = cund das ist ja dann ab|c. Danke! Jetzt hab ich’s verstanden.   ─   user19af63 07.03.2022 um 12:41
Ich hatte dir ja anfangs gesagt, schreib dir auf, wo du hin möchtest. Dann hättest du das vermutlich auch selbst gesehen. ;) Ich hoffe, dir ist jetzt auch klar, warum man den ggT braucht.   ─   cauchy 07.03.2022 um 12:58
Hatte alles aufgeschrieben, aber schreibe morgen die Klausur und hatte mein Kopf auch leider oft woanders und hatte keine Ideen bzw. habe es nicht gesehen. Danke trotzdem. :)   ─   user19af63 07.03.2022 um 13:04
Viel Erfolg! Für Klausuren muss man keine konkreten Aufgaben können, sondern vielmehr die Idee, die hinter solchen Beweisen steckt. Das braucht aber eben Übung und Erfahrung, die man am besten dadurch erlangt, indem man möglichst viel selbst ausprobiert.   ─   cauchy 07.03.2022 um 13:08
Dankeschön! :)   ─   user19af63 07.03.2022 um 13:17

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