Implikation zeigen, wichtig

Aufrufe: 500     Aktiv: 07.03.2022 um 13:17

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Aufgabenstellung:
Es seien 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Z mit ggT(𝑎, 𝑏) = 1. Zeigen Sie, dass die Implikation 𝑎|𝑐∧𝑏|𝑐 ⇒ 𝑎·𝑏|𝑐
gilt. Warum braucht man die Voraussetzung ggT(𝑎,𝑏) = 1?

Meine Ideen:
a|c <=> Es existiert ein m e Z: a*m=c
und
b|c <=> Es existiert ein n e Z: b*n=c

Bei einer Implikation A => B nehme ich ja A an und zeige somit B.
Wenn ich den ersten Teil nun annehme, wie komme ich dann aber weiter zu B (ab|c) ?

Dachte man kann gleichsetzen: a*m = b*n
Was bringt mir dabei, dass der ggT(a,b)=1 ist?

Könnte ich das ganze zur Linearkombination umformen? Also so:
1 = a*m - b*n



Leider weiß ich wenn auch nicht weiter, was mir der ggT bringt und wie ich kann auf ab|c schließen soll.

Würde mich über Hilfe freuen!

EDIT vom 05.03.2022 um 19:18:

Kann mir jemand hierbei helfen? Wichtig für meine Klausur nächste Woche...
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1 Antwort
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Da $\mathrm{ggT}(a,b)=1$, gibt es $x$ und $y$ mit $ax+by=1$. Zeigen möchtest du nun, dass es $z\in\mathbb{Z}$ gibt, mit $abz=c$. Multipliziere jetzt mal die erste Gleichung mit $c$ und überlege dir - unter Verwendung der Voraussetzung - wie man das auf die Gleichung $abz=c$ zurückführen kann (Stichwort ausklammern).
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Selbstständig, Punkte: 30.29K

 

Danke erstmal für deine Antwort. Meinst du mit einsetzen in die erste Gleichung diese, ax+by=1 ?
Dann würde ja folgen: axc+byc=1 und dann (ax+by) *c = c
Verstehe dann trotzdem leider nicht wie ich das beweisen kann: 𝑎|𝑐∧𝑏|𝑐 ⇒ 𝑎·𝑏|𝑐
  ─   user19af63 06.03.2022 um 18:38

Also dann a* x = c also a|c und b*y =c also b|c?   ─   user19af63 06.03.2022 um 18:39

Tut mir leid, aber ich weiß trotzdem nicht, was mir die Voraussetzung, dass ggT(a,b)=1 dann in der Gleichung bringen soll. Meine einzige Idee wenn noch: a * (cx) + b* (cy) = c dass ich damit irgendwie sehe das a bzw b ein Teiler von c ist.   ─   user19af63 06.03.2022 um 19:15

Die Voraussetzung ist ja a|c und b|c mit a*m=c und b*n=c.
Also : axam + bybn = c ?
Und wenn weiter:a^2 (xm) + b^2 (yn) = c
Weiter wüsste ich dann trotzdem nicht…
  ─   user19af63 06.03.2022 um 20:06

Also axbn + byam = c

Wie schließe ich dann damit auf ab|c ?
  ─   user19af63 07.03.2022 um 09:54

\(ab\) ausklammern!   ─   mathejean 07.03.2022 um 11:28

Achso! Also dann ab * (xn+ym) = cund das ist ja dann ab|c. Danke! Jetzt hab ich’s verstanden.   ─   user19af63 07.03.2022 um 12:41

Hatte alles aufgeschrieben, aber schreibe morgen die Klausur und hatte mein Kopf auch leider oft woanders und hatte keine Ideen bzw. habe es nicht gesehen. Danke trotzdem. :)   ─   user19af63 07.03.2022 um 13:04

Dankeschön! :)   ─   user19af63 07.03.2022 um 13:17

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