Der Begriff "Reihe" bezeichnet zum einen eine Folge, nämlich die Folge der Partialsummen bis n, also $\sum\limits_{i=0}^\infty a_i$ steht für die Folge $\left( \sum\limits_{i=0}^n a_i\right)_n$.

Wenn die Reihe, also die oben genannte Folge, konvergiert, schreibt man den Grenzwert als $\sum\limits_{i=0}^\infty a_i$, sagt auch "Reihe" dazu. Das ist aber ein ganz anderes Objekt, das ist ja eine Zahl und keine Folge.

Dies ist eine der ganz wenigen Stellen in der Mathematik, wo eine Bezeichnung für zwei versch. Objekte verwendet wird, ist anfangs etwas ungewohnt.