Kürzen eines Bruchs mit Potenz im Nenner?

Erste Frage Aufrufe: 136     Aktiv: 08.12.2023 um 18:43

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Bei einer Grenzwertberechnen wird laut Musterlösung in einem Schritt der Bruch im Zähler mit n gekürzt, im Nenner wird die Wurzel aber mit n^2 gekürzt ("weil es sich anbietet").
Mir war nicht bewusst, dass das mathematisch erlaubt/korrekt ist.
Kann mir jemand sagen auf Basis welcher Regel das geht, bisher dachte ich, man könne einen Bruch im Zähler und Nenner nur durch die selbe Zahl kürzen.
Im Screenshot geht es konkret um den Schritt zwischen der vorletzten und letzten Zeile.
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Da sicherlich $n$ aus den natürlichen Zahlen kommt, gilt $\sqrt{n^2}=n$. Deswegen wurde hier im Nenner erst innerhalb des Wurzelterms $n^2$ ausgeklammert, dann die Wurzel gezogen und dann anschließend $n$ ausgeklammert:
\[\sqrt{4n^2+14n+5}+2n=\sqrt{n^2\cdot \left( 4+\frac{14}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}+2n=n\cdot \sqrt{4+\frac{14}{n}+\frac{5}{n^2}}+2n=n\cdot \left( \sqrt{4+\frac{14}{n}+\frac{5}{n^2}}+2\right)\]

Wenn man das $n$ auch im Zähler ausgeklammert hat kann man es dann kürzen.

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