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Hallo,
Hmm mich verwirrt hier das \( c_i \) und \( b_i \) so an die Matrix geschrieben wurde, als wären die Zeilen bzw Spalten die Basisvektoren.
Das kann aber absolut nicht sein, denn die 4 Zeilen bilden keine Basis, da sie nicht linear unabhängig sind.
Auch macht eine Abbildungsmatrix die die Basen als Zeilen und Spalten haben einfach keinen Sinn.
Aber ignorieren wir einfach mal die Beschriftungen der Zeilen/Spalten:
Was erhälst du denn als Ergebnis, wenn du den Basisvektor \( b_2 \) bzw den Basisvektor \( b_3 \) in die Matrix einsetzt? Denke dabei daran, wie man aus den Basen und der Abbildung die Abbildungsmatrix erstellt.
Danach bedenke was eine lineare Abbildung ausmacht. Was passiert mit einem Vorfaktor bei einer linearen Abbildung?
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Also zuerst zu einer linearen Abbildung. Es gilt
$$ f(x+y) = f(x) + f(y) $$
und
$$ f(\lambda \cdot x ) = \lambda \cdot f(x) $$
mit \( x,y \in V \) und \( \lambda \in \mathbb{K} \).
Dann ignoriere das an die Matrix \( b_i \) und \( c_i \) geschrieben wurde. Das finde ich absolut verwirrend und macht für mich wirklich keinen Sinn.
Überlege dir lieber folgendes: Wenn wir die Abbildungsmatrix erstellen, dann setzen wir die Basisvektoren des Definitionsraums ein. Die Spalte der Matrix hat dann als Einträge die Koeffizienten der Linearkombination des Bildes dieses Basisvektors.
Wir setzen also \( b_1 \) ein. Wie sieht das Bild von \( b_1 \) als Linearkombination der Vektoren \( c_i \) aus? Man kann es direkt ablesen.
Noch als Tipp: Wir müssen für diese Aufgabe nicht wissen wie die \( b_i \) und \( c_i \) genau aussehen. :) ─ christian_strack 26.06.2020 um 13:23
$$ f(x+y) = f(x) + f(y) $$
und
$$ f(\lambda \cdot x ) = \lambda \cdot f(x) $$
mit \( x,y \in V \) und \( \lambda \in \mathbb{K} \).
Dann ignoriere das an die Matrix \( b_i \) und \( c_i \) geschrieben wurde. Das finde ich absolut verwirrend und macht für mich wirklich keinen Sinn.
Überlege dir lieber folgendes: Wenn wir die Abbildungsmatrix erstellen, dann setzen wir die Basisvektoren des Definitionsraums ein. Die Spalte der Matrix hat dann als Einträge die Koeffizienten der Linearkombination des Bildes dieses Basisvektors.
Wir setzen also \( b_1 \) ein. Wie sieht das Bild von \( b_1 \) als Linearkombination der Vektoren \( c_i \) aus? Man kann es direkt ablesen.
Noch als Tipp: Wir müssen für diese Aufgabe nicht wissen wie die \( b_i \) und \( c_i \) genau aussehen. :) ─ christian_strack 26.06.2020 um 13:23
Puhh 🤯 Aber wie kann ich nur b₁ einsetzen? Die Abbildung lautet: l(-3b₂+1b₃). Das heißt doch, ich muss sowohl b₂ und b₃ jeweils gleichzeitig einsetzen? Wie kann ich nur b₂ einsetzen? Mein Gehirn kocht schon💥🌡😭Ich glaube ich habe nur Denkfehler
─
kamil
26.06.2020 um 18:07
Wie gesagt denke daran wie wir eine Abbildungsmatrix erstellen. Wir haben im Definitionsaum die Basis \( \mathcal{B} \) und im Zielraum die Basis \( \mathcal{C} \). Wenn wir nun die Abbildungsmatrix bestimmen wollten, würden wir nach und nach die Vektoren aus der Basis \( \mathcal{B} \) in die Abbildung einsetzen. Das Bild würden wir dann als Linearkombination der Basis \( \mathcal{C} \) darstellen.
Also
$$ l(b_1) = ? c_1 + ? c_2 + ? c_3 + ? c_4 $$
Dann würden wir die Koeffizienten (\( ? \)) als Einträge in die erste Spalte eintragen. Was erhalten wir also für Koeffizienten?
Du kannst es von der Matrix ablesen :) ─ christian_strack 26.06.2020 um 20:09
Also
$$ l(b_1) = ? c_1 + ? c_2 + ? c_3 + ? c_4 $$
Dann würden wir die Koeffizienten (\( ? \)) als Einträge in die erste Spalte eintragen. Was erhalten wir also für Koeffizienten?
Du kannst es von der Matrix ablesen :) ─ christian_strack 26.06.2020 um 20:09
Ich habe versucht, nach deinem letzten guten Kommentar von "Darstellungsmatrix invertieren" vorzugehen. Ich wollte das auf diese Aufgabe mal übertragen.
Zunächst habe ich den Vektor bzgl. der Basis geschrieben. Dann die Basis aus der allgemeinen Darstellung erhalten, wenn ich a=1 und b,c,d=0 setze, denn b₁=1b₁+0b₂+0b₃+0b₄. Als Vektor wäre das also (1 0 0 0)^T. Als nächstes würde ich b₁ in die Abbildung jagen. Soweit richtig?
Jetzt vewirrt mich aber folgende: Es gibt 4 Buchstaben: a,b,c,d. Und es gibt jedoch kein b₄. Bei dem anderen Beispiel mit den Koeffizienten a,b,c, wo ich die Matrix schon invertiert habe, ging das auf, weil die Matrix quadratisch ist, also genau so viele Zeilen wie Spalten hat? Hier kann ich das nicht machen? Fragen über Fragen :) ─ kamil 27.06.2020 um 13:19
Zunächst habe ich den Vektor bzgl. der Basis geschrieben. Dann die Basis aus der allgemeinen Darstellung erhalten, wenn ich a=1 und b,c,d=0 setze, denn b₁=1b₁+0b₂+0b₃+0b₄. Als Vektor wäre das also (1 0 0 0)^T. Als nächstes würde ich b₁ in die Abbildung jagen. Soweit richtig?
Jetzt vewirrt mich aber folgende: Es gibt 4 Buchstaben: a,b,c,d. Und es gibt jedoch kein b₄. Bei dem anderen Beispiel mit den Koeffizienten a,b,c, wo ich die Matrix schon invertiert habe, ging das auf, weil die Matrix quadratisch ist, also genau so viele Zeilen wie Spalten hat? Hier kann ich das nicht machen? Fragen über Fragen :) ─ kamil 27.06.2020 um 13:19
Nicht ganz. Wenn wir \( b_1 \) einsetzen, nehmen wir die Koeffizienten des Bildes. Somit erhalten wir
$$ l(b_1) = -3 c_1 +5c_2 -2c_3 +1c_4 $$
Wir nehmen also einfach die Koeffizienten des Spaltenvektors. Wir drehen den Prozess also einfach um. Wird das klar?
Wie sehen dann \( l(b_2) \) und \( l(b_3) \) aus? ─ christian_strack 27.06.2020 um 14:11
$$ l(b_1) = -3 c_1 +5c_2 -2c_3 +1c_4 $$
Wir nehmen also einfach die Koeffizienten des Spaltenvektors. Wir drehen den Prozess also einfach um. Wird das klar?
Wie sehen dann \( l(b_2) \) und \( l(b_3) \) aus? ─ christian_strack 27.06.2020 um 14:11
Aso, ich habe versucht die Darstellungsmatrix zu bestimmen, wiewohl sie hier ja gegeben ist xD
Nun gut, das kann ich übertragen:
l(b₂)=-c₁+c₂+5c₃-2c₄
l(b₃)=-1c₁+4c₂-2c₃-2c₄
Ich denke, dass es mir klar ist. Man summiert die Koeffizienten von der Spalte bi auf und multipliziert diese mit dem ci, welches in der zugehörigen Zeile von den bi's steht. Z.B.: Der erste Koeffizient von der b₁-Spalte ist -3. Guckt man nach links, so ist die Zeile mit c₁ beschriftet. Ich multipliziere beides aus.
So, und nun, wie geht es weiter? :D Das ist echt hart zu sehen für mich, inwiefern das der Lösung näher kommt
─ kamil 27.06.2020 um 17:53
Nun gut, das kann ich übertragen:
l(b₂)=-c₁+c₂+5c₃-2c₄
l(b₃)=-1c₁+4c₂-2c₃-2c₄
Ich denke, dass es mir klar ist. Man summiert die Koeffizienten von der Spalte bi auf und multipliziert diese mit dem ci, welches in der zugehörigen Zeile von den bi's steht. Z.B.: Der erste Koeffizient von der b₁-Spalte ist -3. Guckt man nach links, so ist die Zeile mit c₁ beschriftet. Ich multipliziere beides aus.
So, und nun, wie geht es weiter? :D Das ist echt hart zu sehen für mich, inwiefern das der Lösung näher kommt
─ kamil 27.06.2020 um 17:53
Ich glaube, ich habe das jetzt doch gelöst. Danke vielmals für die Hinweise
─
kamil
28.06.2020 um 13:47
Hey sorry ich war gestern nicht am Rechner.
Yes jetzt hast du alles richtig. Sehr gut!! :D
Sehr gerne. :) ─ christian_strack 29.06.2020 um 12:18
Yes jetzt hast du alles richtig. Sehr gut!! :D
Sehr gerne. :) ─ christian_strack 29.06.2020 um 12:18
ich habe b₂ und b₃ in die Abbildung l(-3b₂+1b₃) eingesetzt. Ich habe es mit den Vorfaktoren -3 und 1 ausmultipliziert und addiert. Wieso addiert, weiß ich selbst nicht, vielleicht kann man damit was anfangen :D
Aus Ergebnissen der Multiplikation -3*b₂ und 1*b₃ habe ich wieder Spalten rausbekommen und zu einer Matrix zusammengetan. So, jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Wo finde ich dir Vorfaktoren und von was die Vorfaktoren? 🙂 ─ kamil 26.06.2020 um 12:07