Tschebyschevsche Ungleichung untere Schranke für n

Erste Frage Aufrufe: 396     Aktiv: 11.08.2022 um 15:19

0

Hallo! 

Aufgabe: Das Gewicht von Trauben ist durch $N(2.5, 0.2)$ gegeben. Es soll nun möglichst kleine Verpackungen mit $n \in \mathbb{N}$ Trauben ausgeliefert werden, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% das arithmetische Mittel des Gewichts der Trauben in einer Packung strikt zwischen $2.2$ und $2.8$ liegt.

Als Hinweis ist gegeben das man die Tschebyschevsche Ungleichung nutzen soll:

$${\displaystyle \operatorname {P} \left(\left|X-E(x)\right|<c\right)\geq 1-{\frac {Var(x)}{c^{2}}}}$$

Mein Ansatz:
 Ich weiß das $E(x) = 2.5$ und $Var(x) = 0.2$, dann habe ich durch die Tschebyschevsche Ungleichung die Wahrscheinlichkeit berechnet ($1 - \frac{0.2}{c^2} = 0.9$ umgestellt) das sich zu $90\%$ die absolute Abweichung vom Erwartungswert im Bereich $\sqrt{2}$ befindet. 

$$P(|x - 2.5| < \sqrt{2}) \geq 1 - \frac{0.2}{2} = 0.9 = 90\%$$

Das Problem hierbei ist jedoch, dass die Abweichung $\sqrt{2}$ nicht mehr zwischen $2.2$ und $2.8$ liegt und wie soll man aus der Ungleichung überhaupt eine Aussage über $n$ Treffen können?

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 10

 

1
Bei $ {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ist $Var(x) = \sigma ^{2}\,$, siehe Wikipedia und steht auch so in meinem Mathe Skript. Oder habe ich was ganz falsch verstanden?   ─   instantnoodl 10.08.2022 um 08:17
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Es empfiehlt sich (wie immer) erstmal die Variablen klar zu sortieren. Was N-verteilt ist, ist das Gewicht, nennen wir das mal $X$. Was uns interessiert, ist der Mittelwert, nennen wir den mal $M$,  das ist eine andere Größe.
Die T-Ungleichung muss nun für $M$ angewandt werden (nicht für $X$). Es gilt $E(M)=E(X)=2.5$, aber $Var(M)=Var(X)/n$ (wobei $n$ die Anzahl der Werte in $M$ ist).
Überlege Dir, was $c$ sein sollte, damit die T-Ungleichung die Antwort auf die Aufgabenstellung liefert, und stelle dann nach $n$ um.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.16K

 

Erstmal großes danke! Wenn ich $Var(M) = \frac{Var(X)}{n}$ annehme ist es leicht auf die Lösung zu kommen. Ich frage mich nur wie man überhaupt darauf kommt das die Varianz des Mittelwertes $\frac{Var(X)}{n}$ ist bzw. warum es in Verbindung mit der Varianz der Normalenverteilung steht.   ─   instantnoodl 11.08.2022 um 09:37

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.