Tschebyschevsche Ungleichung untere Schranke für n

Erste Frage Aufrufe: 138     Aktiv: 11.08.2022 um 15:19

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Hallo! 

Aufgabe: Das Gewicht von Trauben ist durch $N(2.5, 0.2)$ gegeben. Es soll nun möglichst kleine Verpackungen mit $n \in \mathbb{N}$ Trauben ausgeliefert werden, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% das arithmetische Mittel des Gewichts der Trauben in einer Packung strikt zwischen $2.2$ und $2.8$ liegt.

Als Hinweis ist gegeben das man die Tschebyschevsche Ungleichung nutzen soll:

$${\displaystyle \operatorname {P} \left(\left|X-E(x)\right|<c\right)\geq 1-{\frac {Var(x)}{c^{2}}}}$$

Mein Ansatz:
 Ich weiß das $E(x) = 2.5$ und $Var(x) = 0.2$, dann habe ich durch die Tschebyschevsche Ungleichung die Wahrscheinlichkeit berechnet ($1 - \frac{0.2}{c^2} = 0.9$ umgestellt) das sich zu $90\%$ die absolute Abweichung vom Erwartungswert im Bereich $\sqrt{2}$ befindet. 

$$P(|x - 2.5| < \sqrt{2}) \geq 1 - \frac{0.2}{2} = 0.9 = 90\%$$

Das Problem hierbei ist jedoch, dass die Abweichung $\sqrt{2}$ nicht mehr zwischen $2.2$ und $2.8$ liegt und wie soll man aus der Ungleichung überhaupt eine Aussage über $n$ Treffen können?

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Bei $ {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ist $Var(x) = \sigma ^{2}\,$, siehe Wikipedia und steht auch so in meinem Mathe Skript. Oder habe ich was ganz falsch verstanden?   ─   instantnoodl 10.08.2022 um 08:17
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Es empfiehlt sich (wie immer) erstmal die Variablen klar zu sortieren. Was N-verteilt ist, ist das Gewicht, nennen wir das mal $X$. Was uns interessiert, ist der Mittelwert, nennen wir den mal $M$,  das ist eine andere Größe.
Die T-Ungleichung muss nun für $M$ angewandt werden (nicht für $X$). Es gilt $E(M)=E(X)=2.5$, aber $Var(M)=Var(X)/n$ (wobei $n$ die Anzahl der Werte in $M$ ist).
Überlege Dir, was $c$ sein sollte, damit die T-Ungleichung die Antwort auf die Aufgabenstellung liefert, und stelle dann nach $n$ um.
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Erstmal großes danke! Wenn ich $Var(M) = \frac{Var(X)}{n}$ annehme ist es leicht auf die Lösung zu kommen. Ich frage mich nur wie man überhaupt darauf kommt das die Varianz des Mittelwertes $\frac{Var(X)}{n}$ ist bzw. warum es in Verbindung mit der Varianz der Normalenverteilung steht.   ─   instantnoodl 11.08.2022 um 09:37

Erstmal muss man sich klar machen, dass M und X versch. Größen sind und damit potentiell versch. EW und Varianzen haben. Dass der EW in diesem Fall derselbe ist, kann man leicht nachrechnen. Dass die Varianz diese etwas andere ist, ist auch nicht schwierig, ist alles z.B. hier https://www.math.uni-bielefeld.de/~cmanibo/lehre/SoSe20/WTS/SKRIPT2020_6.1-6.3.pdf auf den ersten drei Seiten erklärt.   ─   mikn 11.08.2022 um 10:33

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