Vorweg: Alle Deine vorherigen Fragen sind noch offen. Markiere beantwortete Fragen als solche (Anleitung siehe e-mail). Das Forum funktioniert nur, wenn man sich an die Spielregeln hält (Kodex im Menu links).
Zu Deiner Frage:
Als allererstes bei Gebietsintegralen: skizziere das Gebiet.
Wenn Du das gemacht hättest, würdest Du
1. sofort sehen, dass Dein Kommilitone ein anderes Gebiet verwendet hat und
2. wie das zu berechnende Integral aussieht.
Im übrigen hat Dein Kommilitone auch nicht das gleiche Ergebnis erhalten.

Bei der Erklärung von kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten solltest Du gelernt haben, welche man wann am besten verwendet.
In Deinem Gebiet also keine Polarkoordinaten.
Aus der Skizze erkennt man das sofort und auch die richtigen Integralgrenzen.
Beachte $\int\limits_a^b\int\limits_c^d f(x,y)\, dy\, dx$ heißt $x$ läuft von $a$ bis $b$ und $y$ läuft von $c$ bis $d$. Achte genau auf die Schreibweise und die Zuordnung.
In der Lösung stehen alle Rechenschritte, nichts ist weggelassen.