Untersuche die Stetigkeit von f

Aufrufe: 99     Aktiv: 26.05.2021 um 15:23

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Aufgabe:
Man untersuche die Stetigkeit der Funktion \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) im Punkt \((0,0)\).



Frage:
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man diese Aufgabe lösen kann?
gefragt

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2 Antworten
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Hallo,

bei solchen Aufgaben ist die Funktion meistens unstetig. Denn das ist wesentlich einfacher zu zeigen. Natürlich sollte man nicht komplett davon ausgehen, aber es lohnt sich das zuerst zu überprüfen. 
Unstetigkeit lässt sich in solchen Fällen relativ einfach mit Hilfe der Folgenstetigkeit zeigen. Oder eben dadurch, dass die Folgenstetigkeit verletzt wird. 

Für eine stetige Funktion gilt nämlich

$$ \lim\limits_{n\to \infty} f(x_n) = f(x_0) $$

wobei \( x_0 \) der Grenzwert von \( x_n \) ist. Also suchen wir eine Folge die diese Aussage verletzt. Da wir die Stetigekeit im Ursprung überprüfen sollen, suchen wir zwei Nullfolgen. 
Die selbe Nullfolge macht wenig Sinn, denn dann wäre \( x^2 - y^2 =0 \). 

An welche Folge denkst du als aller erstes, wenn du an Nullfolgen denkst? Setze diese für \( x \) ein. Wie kannst du diese Folge leicht abwandeln, damit es nicht die gleiche Folge ist, aber wir immer noch eine Nullfolge haben? Setze das für \(y\). 

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian
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Ich habe ein bisschen rumprobiert und auf folgendes gekommen:

\(\lim_{x \rightarrow 0} (\lim_{y \rightarrow 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2+y^2}) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x^2} = 1\)
\(\lim_{y \rightarrow 0} (\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2+y^2}) = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{-y^2}{y^2} = -1\)

\(\implies \lim{x \rightarrow x_{0} \space und \space y \rightarrow y_{0}} f(x,y) \nexists \implies \) nicht stetig in (0,0)

Kann dies stimmen?
  ─   pekusbill 23.05.2021 um 17:36

So geht es leider nicht. Du betrachtest hier nicht die Komponenten einzelnd, sondern das sich ein Punkt dem Nullpunkt annähert.
$$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \ldots $$
Setzen wir mal \( x_n = \frac 1n \). Das ist ja eine Nullfolge. Wenn wir jetzt noch eine Nullfolge \( y_n \) haben, dann gilt für eine stetige Funktion \( f(x,y) \)
$$ \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n , y_n) = f(0,0) $$
Wenn deine Funktion stetig ist, muss für alle Nullfolgen \( x_n,y_n \) dort \( f(0,0) = 0 \) herauskommen.

Wir brauchen nun noch eine Nullfolge für \( y\). Wir sollten nicht die gleiche nehmen, sonst ergibt der Zähler sofort Null und nach der Grenzwertbetrachtung haben wir wieder \( \frac 0 0 \). Das hilft uns nicht weiter. Also suchen wir eine \( y_n \neq \frac 1n\).
Probiere mal ein bisschen rum mit Nullfolgen. Die kann sehr ähnlich wie \( x_n \) aussehen, es sollte nur nicht exakt die selbe sein.
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 11:49

Noch als kleine Anmerkung: Wenn wir die Unstetigkeit zeigen wollen, reicht es ein Gegenbeispiel wie hier zu finden. Für die Stetigkeit müssten wir zeigen, dass für wirklich alle Nullfolgen \( f(x_n,y_n) \) gegen \( f(0,0) \) strebt. Deshalb ist es einfacher die Unstetigkeit zu zeigen.   ─   christian_strack 24.05.2021 um 11:51

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, dann sollte die Unstetigkeit wie folgt gezeigt werden:
\(x_{n} = \frac{1}{n}, \space y_{n} = \frac{1}{n^2}\)
\(\lim_{n \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}} = \lim_{n \rightarrow 0}\frac{{n^2} (1- \frac{1}{n^2})}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = \lim_{n \rightarrow 0}\frac{1 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \rightarrow 0}\frac{\frac{n^2-1}{n^2}}{\frac{n^2+1}{n^2}} = \lim_{n \rightarrow 0}\frac{n^2 - 1}{n^2+1} = \frac{-1}{1}=-1\)
\(-1 \ne f(0,0) \implies \) f(x,y) ist nicht stetig.

Stimmt dies?
  ─   pekusbill 24.05.2021 um 14:24

Jap so ist es wunderbar :)
Sehr gerne
  ─   christian_strack 24.05.2021 um 14:32

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Hey, ich hätte eine kleine Frage zu dieser Lösung:
wieso stimmt es, beim Limes \( \lim_{n \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}\), \(n\) gegen \(0\) gehen zu lassen?
Meinem Verständnis nach müsste \(n\) doch gegen \(\infty\) gehen, damit wir für die einzelnen Terme \(0\) bekommen?
  ─   wejn 26.05.2021 um 14:49

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Oh ja \( n \) muss auch gegen \( \infty \) laufen. Tut mir leid da habe ich anscheinend nicht aufmerksam genug gelesen :/.
Es ist natürlich
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac {1- \frac 1 {n^2}} {1 + \frac 1{n^2}} = \frac {1-0} {1+0} = 1 $$
Danke für das wachsame Auge :)
  ─   christian_strack 26.05.2021 um 15:23

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Die Unstetigkeit kann man auch mit de de l'Hopital beweisen:
\(y=const. \Rightarrow lim_{x\to 0} \frac{2x}{2x}=1;x=const. \Rightarrow lim_{y\to 0} \frac{2y}{-2y}=-1\)
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